Volume di un insieme, dove sbaglio...
Ciao a tutti ! Non so perchè ma di questo esercizio non mi viene corretto il risultato.
Calcolare il volume dell'insieme $ V = {(x,y,z)inR^3: x^2+y^2+z^2le4a^2, (x-a)^2+y^2lea^2, a >0} $
Data la simmetria del problema si consideri solo la semisfera con $ z>=0$ e si moltiplichi per due il risultato
Per definizione il volume di un'insieme è dato da
$ int int int_(E)^()1 dx dy dz $
Ho usato la trasformazione in coordinate cilindriche
$ { ( x =rhocostheta ),( y = rhosintheta ),( z=z ):} $
ove si ha che $ rho >= 0 $ , $ theta in[0,2pi] $ , $ J (rho, theta, z ) = rho $
Quindi devo determinare il nuovo dominio di integrazione per vedere dove variano $ rho, theta, z $
Ho sostituto i valori nelle disequazioni di partenza ottenendo il sistema
$ { ( rho^2+ z^2 le4a^2 ),( rho(rho-2acostheta)<=0 ):} rArr { ( rho^2+ z^2 le4a^2 ),( rho(rho-2acostheta)<=0 ):} $
Quindi ho lavorato sulle disuguaglianze scrivendo
$ 0<=rho<=2acostheta $ . questo implica che $ 2acostheta>=0 hArr theta in [pi/2, 3pi/2] $
Quindi ho scritto
$ z^2<=4a^2-rho^2<=4a^2-4a^2cos^2theta= 4a^2sin^2theta $
e tenendo conto che vale la condizione $ z>=0 $ allora segue $ z<=2asintheta $
Quindi il nuovo dominio di integrazione è
$ D = {(rho,theta,z)inR^3: 0<=rho<=2acostheta, 0<=theta<=pi/2, 0<=z<=2asintheta} $
e l'integrale diventa
$ int int int_(D)^()rho dx dy dz $ =
$ int_(0)^(pi/2) d\theta int_(0)^(2asintheta) dz int_(0)^(2acostheta) rho drho $
solo che l'integrale mi viene sbagliato, perchè il risultato deve essere $ 16/3 a^3(3pi-4) $
Dove sbaglio?
Calcolare il volume dell'insieme $ V = {(x,y,z)inR^3: x^2+y^2+z^2le4a^2, (x-a)^2+y^2lea^2, a >0} $
Data la simmetria del problema si consideri solo la semisfera con $ z>=0$ e si moltiplichi per due il risultato
Per definizione il volume di un'insieme è dato da
$ int int int_(E)^()1 dx dy dz $
Ho usato la trasformazione in coordinate cilindriche
$ { ( x =rhocostheta ),( y = rhosintheta ),( z=z ):} $
ove si ha che $ rho >= 0 $ , $ theta in[0,2pi] $ , $ J (rho, theta, z ) = rho $
Quindi devo determinare il nuovo dominio di integrazione per vedere dove variano $ rho, theta, z $
Ho sostituto i valori nelle disequazioni di partenza ottenendo il sistema
$ { ( rho^2+ z^2 le4a^2 ),( rho(rho-2acostheta)<=0 ):} rArr { ( rho^2+ z^2 le4a^2 ),( rho(rho-2acostheta)<=0 ):} $
Quindi ho lavorato sulle disuguaglianze scrivendo
$ 0<=rho<=2acostheta $ . questo implica che $ 2acostheta>=0 hArr theta in [pi/2, 3pi/2] $
Quindi ho scritto
$ z^2<=4a^2-rho^2<=4a^2-4a^2cos^2theta= 4a^2sin^2theta $
e tenendo conto che vale la condizione $ z>=0 $ allora segue $ z<=2asintheta $
Quindi il nuovo dominio di integrazione è
$ D = {(rho,theta,z)inR^3: 0<=rho<=2acostheta, 0<=theta<=pi/2, 0<=z<=2asintheta} $
e l'integrale diventa
$ int int int_(D)^()rho dx dy dz $ =
$ int_(0)^(pi/2) d\theta int_(0)^(2asintheta) dz int_(0)^(2acostheta) rho drho $
solo che l'integrale mi viene sbagliato, perchè il risultato deve essere $ 16/3 a^3(3pi-4) $
Dove sbaglio?
Risposte
Con le trasformazioni che hai scritto devi avere, per la seconda condizione,
$$(\rho\cos\theta-a)^2-\rho^2\sin^2\theta\le a^2\ \Rightarrow\ \rho^2(\cos^2\theta-\sin^2\theta)-2a\rho\cos\theta\le 0$$
ed avendosi $\rho\ge 0$ puoi concludere che
$$\rho\cos(2\theta)-2a\cos\theta\le 0$$
$$(\rho\cos\theta-a)^2-\rho^2\sin^2\theta\le a^2\ \Rightarrow\ \rho^2(\cos^2\theta-\sin^2\theta)-2a\rho\cos\theta\le 0$$
ed avendosi $\rho\ge 0$ puoi concludere che
$$\rho\cos(2\theta)-2a\cos\theta\le 0$$
ciampax scusami, ho commesso un errore di battitura nella disequazione del dominio.
Il dominio di integrazione è
$ D = { (x,y,z) in R ^3 : x^2+y^2+z^2<=4a^2, (x-a)^2+y^2<=a^2 $
Quindi la condizione non è giusta come l'ho scritta io?
Non capisco davvero dove sta l'errore
Il dominio di integrazione è
$ D = { (x,y,z) in R ^3 : x^2+y^2+z^2<=4a^2, (x-a)^2+y^2<=a^2 $
Quindi la condizione non è giusta come l'ho scritta io?
Non capisco davvero dove sta l'errore
Ah ecco, allora la condizione che hai scritto è giusta, tuttavia è la determinazione dell'angolo $\theta$ che risulta errata: data la simmetria delle figure, ci si dovrebbe aspettare una variazione dell'angolo "simmetrica" appunto, cosa che non succede. Vediamo un po': abbiamo le condizioni
$$\rho^2+z^2\le 4a^2,\qquad \rho(\rho-2a\cos\theta)\le 0$$
e, dal momento che $\rho\ge 0$ per definizione,
$$\rho^2+z^2\le 4a^2,\qquad \rho-2a\cos\theta\le 0$$
Ora, io ragionerei così: le due superfici sono quelle di una sfera e di un cilindro e il dominio di integrazione risulta l'interno della sfera contenuto dentro il cilindro. Dal momento che sul piano $xOy$ ($z=0$) il disegno delle figure corrisponde a quello delle due circonferenze $x^2+y^2=4a^2$ e $(x-a)^2+y^2=a^2$, la prima di centro l'origine e raggio $2a$, la seconda di centro $(a,0)$ e raggio $a$, possiamo osservare che esse sono tangenti, internamente, nel punto $A(2a,0)$. Su tale grafico, possiamo determinare la variazione dell'angolo $\theta$: infatti al fine di "spazzare" l'interno della circonferenza più piccola, dobbiamo prendere i raggi della circonferenza più grande che vanno a "ricoprirla". Se disegni la situazione, ti renderai conto che tali angoli sono contenuti nell'intervallo $[-\pi/2,\pi/2]$, visto che i raggi di cui si parla sono quelli compresi tra la parte negativa e quella positiva dell'asse $y$. Pertanto $\theta\in[\-pi/2,\pi/2]$ e a questo punto possiamo determinare come variano $\rho, z$: infatti da
$$\rho^2+z^2\le 4a^2,\ \rho\le 2a\cos\theta$$
disegnando nel piano $\rho = z$e in particolare solo nel primo quadrante (sia $\rho$ che $z$ sono maggiori o uguali a zero), otteniamo l'interno di un quarto di cerchio e la parte sinistra alla retta parallela all'asse $z$ passante per il valore "costante" (per ogni $\theta$ fissato$) $2a\cos\theta$. Quindi
$$0\le\rho\le2a\cos\theta,\qquad 0\le z\le\sqrt{4a^2-\rho^2}$$
Spero sia chiaro.
$$\rho^2+z^2\le 4a^2,\qquad \rho(\rho-2a\cos\theta)\le 0$$
e, dal momento che $\rho\ge 0$ per definizione,
$$\rho^2+z^2\le 4a^2,\qquad \rho-2a\cos\theta\le 0$$
Ora, io ragionerei così: le due superfici sono quelle di una sfera e di un cilindro e il dominio di integrazione risulta l'interno della sfera contenuto dentro il cilindro. Dal momento che sul piano $xOy$ ($z=0$) il disegno delle figure corrisponde a quello delle due circonferenze $x^2+y^2=4a^2$ e $(x-a)^2+y^2=a^2$, la prima di centro l'origine e raggio $2a$, la seconda di centro $(a,0)$ e raggio $a$, possiamo osservare che esse sono tangenti, internamente, nel punto $A(2a,0)$. Su tale grafico, possiamo determinare la variazione dell'angolo $\theta$: infatti al fine di "spazzare" l'interno della circonferenza più piccola, dobbiamo prendere i raggi della circonferenza più grande che vanno a "ricoprirla". Se disegni la situazione, ti renderai conto che tali angoli sono contenuti nell'intervallo $[-\pi/2,\pi/2]$, visto che i raggi di cui si parla sono quelli compresi tra la parte negativa e quella positiva dell'asse $y$. Pertanto $\theta\in[\-pi/2,\pi/2]$ e a questo punto possiamo determinare come variano $\rho, z$: infatti da
$$\rho^2+z^2\le 4a^2,\ \rho\le 2a\cos\theta$$
disegnando nel piano $\rho = z$e in particolare solo nel primo quadrante (sia $\rho$ che $z$ sono maggiori o uguali a zero), otteniamo l'interno di un quarto di cerchio e la parte sinistra alla retta parallela all'asse $z$ passante per il valore "costante" (per ogni $\theta$ fissato$) $2a\cos\theta$. Quindi
$$0\le\rho\le2a\cos\theta,\qquad 0\le z\le\sqrt{4a^2-\rho^2}$$
Spero sia chiaro.
$ int_(-pi/2)^(pi/2) d\theta int_(0)^(2acostheta) drho int_(0)^(sqrt((4a^2-p^2)) ) rho dz $
ma il risultato non viene . Mi risulta $ 8/3a^3 $ , mentre invece dovrebbe essere $ 16/3a^3 (3pi-4) $
dopo aver moltiplicato per due ovviamente. L'esercizio lo ho preso da un libro su internet. Posso credere che sia sbagliato?
ma il risultato non viene
. Mi risulta $ 8/3a^3 $ , mentre invece dovrebbe essere $ 16/3a^3 (3pi-4) $ dopo aver moltiplicato per due ovviamente. L'esercizio lo ho preso da un libro su internet. Posso credere che sia sbagliato?
Vediamo
$$\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\int_0^{2a\cos\theta}\rho\int_0^{\sqrt{4a^2-\rho^2}}\ dz\ d\rho\ d\theta=\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\int_0^{2a\cos\theta}\rho\sqrt{4a^2-\rho^2}\ d\rho\ d\theta=\\ \int_{-\pi/2}^{\pi/2}\left[-\frac{1}{3}(4a^2-\rho^2)^{3/2}\right]_0^{2a\cos\theta}\ d\theta=-\frac{1}{3}\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\left[(4a^2-4a^2\cos^2\theta)^{3/2}-(4a^2)^{3/2}\right]\ d\theta=\\ -\frac{8a^3}{3}\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\left[(\sin^2\theta)^{3/2}-1\right]\ d\theta=-\frac{8a^3}{3}\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\left[|\sin^3\theta|-1\right]\ d\theta=\\ -\frac{8a^3}{3}\left[2\int_0^{\pi/2}\sin^3\theta\ d\theta-\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\ d\theta\right]=-\frac{8a^3}{3}\left[2\int_0^{\pi/2}\sin\theta(1-\cos^2\theta)\ d\theta-\pi\right]=\\ -\frac{8a^3}{3}\left[2\left[-\cos\theta+\frac{\cos^3\theta}{3}\right]_0^{\pi/2}-\pi\right]=-\frac{8a^3}{3}\left[2-\frac{2}{3}-\pi\right]=\frac{8a^3}{3}\cdot\frac{3\pi-4}{3}$$
e quindi il volume cercato vale
$$\frac{16a^3}{9}(3\pi-4)$$
che sono sicuro essere il risultato corretto.
$$\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\int_0^{2a\cos\theta}\rho\int_0^{\sqrt{4a^2-\rho^2}}\ dz\ d\rho\ d\theta=\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\int_0^{2a\cos\theta}\rho\sqrt{4a^2-\rho^2}\ d\rho\ d\theta=\\ \int_{-\pi/2}^{\pi/2}\left[-\frac{1}{3}(4a^2-\rho^2)^{3/2}\right]_0^{2a\cos\theta}\ d\theta=-\frac{1}{3}\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\left[(4a^2-4a^2\cos^2\theta)^{3/2}-(4a^2)^{3/2}\right]\ d\theta=\\ -\frac{8a^3}{3}\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\left[(\sin^2\theta)^{3/2}-1\right]\ d\theta=-\frac{8a^3}{3}\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\left[|\sin^3\theta|-1\right]\ d\theta=\\ -\frac{8a^3}{3}\left[2\int_0^{\pi/2}\sin^3\theta\ d\theta-\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\ d\theta\right]=-\frac{8a^3}{3}\left[2\int_0^{\pi/2}\sin\theta(1-\cos^2\theta)\ d\theta-\pi\right]=\\ -\frac{8a^3}{3}\left[2\left[-\cos\theta+\frac{\cos^3\theta}{3}\right]_0^{\pi/2}-\pi\right]=-\frac{8a^3}{3}\left[2-\frac{2}{3}-\pi\right]=\frac{8a^3}{3}\cdot\frac{3\pi-4}{3}$$
e quindi il volume cercato vale
$$\frac{16a^3}{9}(3\pi-4)$$
che sono sicuro essere il risultato corretto.
Grazie per l'aiuto ciampax. Il libro riporta come risultato
$ 16/3 a^3 (3pi-4 ) $
ho rivisto il tuo procedimento e anche a me viene uguale. Desumo che il risultato del libro sia sbagliato XD
$ 16/3 a^3 (3pi-4 ) $
ho rivisto il tuo procedimento e anche a me viene uguale. Desumo che il risultato del libro sia sbagliato XD
Ci vuole un $9$ a denominatore, non c'è storia. 
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