Volume di un compatto
Ciao a tutti,
sto svolgendo questo esercizio ma ancora non riesco a trovare il dominio di integrazione.
Fin d'ora ho svolto calcoli dei volumi fra ellissoidi, sfere o paraboloidi, dove parametrizzando le equazioni il termine $ phi $ andava ad elidersi, ma non è questo il caso e non so come comportarmi.
L'esercizio in questione è questo.
$ 3x^2+4y^2+3<=z<=3x+4y+3 $
Devo trovare il volume sotteso fra il paraboloide e il piano.
Facendo la parametrizzazione ottengo:
$ x= rho cos phi $/[tex]\surd 3[/tex]
$ y= rho sen phi $/[tex]2[/tex]
$ z= h $
In questo modo avremo: [tex]\rho ^2+3 \leq h \leq \rho (2sen\phi + \cos\phi \surd 3)+ 3[/tex]
Ora, come mi dovrei comportare?
Solitamente andrei a trovare [tex]\rho[/tex] e [tex]h[/tex], ed in questo caso sarebbero:
[tex]\rho=2sen\phi + \cos\phi \surd 3[/tex]
[tex]h=(2sen\phi + \cos\phi \surd 3)^2 +3[/tex]
E' corretto quello che ho detto fin ad ora oppure no?
sto svolgendo questo esercizio ma ancora non riesco a trovare il dominio di integrazione.
Fin d'ora ho svolto calcoli dei volumi fra ellissoidi, sfere o paraboloidi, dove parametrizzando le equazioni il termine $ phi $ andava ad elidersi, ma non è questo il caso e non so come comportarmi.
L'esercizio in questione è questo.
$ 3x^2+4y^2+3<=z<=3x+4y+3 $
Devo trovare il volume sotteso fra il paraboloide e il piano.
Facendo la parametrizzazione ottengo:
$ x= rho cos phi $/[tex]\surd 3[/tex]
$ y= rho sen phi $/[tex]2[/tex]
$ z= h $
In questo modo avremo: [tex]\rho ^2+3 \leq h \leq \rho (2sen\phi + \cos\phi \surd 3)+ 3[/tex]
Ora, come mi dovrei comportare?
Solitamente andrei a trovare [tex]\rho[/tex] e [tex]h[/tex], ed in questo caso sarebbero:
[tex]\rho=2sen\phi + \cos\phi \surd 3[/tex]
[tex]h=(2sen\phi + \cos\phi \surd 3)^2 +3[/tex]
E' corretto quello che ho detto fin ad ora oppure no?
Risposte
Probabilmente non è la strada più conveniente per trovare il volume di quel solido; non sempre il passaggio in cooerdinate polari, nel piano o nello spazio, sono convenienti. In questo caso forse è più agevole integrare per fili paralleli all'asse $z,$ cioè porre
\begin{align}
\iiint\limits_{D}dxdydz&=\iint\limits_{A}\int_{z=3x^2+4y^2+3}^{3x+4y+3}dz\,\,dxdy=\iint\limits_{A} \left(-3x^2-4y^2+3x+4y \right)\,\,dxdy\\
&=\iint\limits_{A} \left[ \frac{7}{4}-3\left(x-\frac{1}{2}\right)^2-4\left(y-\frac{1}{2}\right)^2 \right]\,\,dxdy,
\end{align}
dove l'insieme $A$ è definito come
\[A:=\left\{(x,y)\in\mathbb{R}^2: \frac{\left(x-\frac{1}{2}\right)^2}{\frac{7}{12}}+\frac{\left(y-\frac{1}{2}\right)^2}{\frac{7}{16}}\le1\right\};\]
a questo punto è opportuno operare un cambio di variabile e porre
\[ x-\frac{1}{2}= u,\qquad y-\frac{1}{2}=v,\qquad J_{u,v}=1,\]
in modo che l'insieme $A$ divenga
\[A':=\left\{(u,v)\in\mathbb{R}^2: \frac{u^2}{\frac{7}{12}}+\frac{v^2}{\frac{7}{16}}\le1\right\},\]
e l'integrale
\begin{align}
\iint\limits_{A'} \left[ \frac{7}{4}- 3u^2-4v^2\right]\,\,dudv;
\end{align}
ora si che è conveniente passare in coordinate ellittiche, cioè porre:
\begin{align}
u=\frac{\sqrt7}{2\sqrt3}\rho\cos\vartheta,&\quad v=\frac{\sqrt7}{4}\rho\sin\vartheta,\qquad J_{\rho,\vartheta}=\frac{7}{8\sqrt3}\,\,\rho\\
&\rho\in[0;1],\quad\vartheta\in[0,2\pi]
\end{align}
e quindi l'integrale
\begin{align}
\iint\limits_{A'} \left[\frac{7}{4}-3u^2+4v^2 \right]\,\,dudv&=\int_{\rho=0}^{1}\int_{\vartheta=0}^{2\pi}\left(\frac{7}{4}-\frac{7}{4}\rho^2\cos^2\vartheta-\frac{7}{4}\rho^2\sin^2\vartheta \right)\frac{7}{8\sqrt3}\,\,\rho\,\,d\rho d\vartheta\\
&=\frac{49}{32\sqrt3}\int_{\rho=0}^{1}\int_{\vartheta=0}^{2\pi}( \rho-\rho^3)\,\,d\rho d\vartheta =\frac{49\pi}{16\sqrt3} \left[\frac{\rho^2}{2}-\frac{\rho^4}{4} \right]_{\rho=0}^{1} = \frac{49\pi}{64\sqrt3} .
\end{align}
\begin{align}
\iiint\limits_{D}dxdydz&=\iint\limits_{A}\int_{z=3x^2+4y^2+3}^{3x+4y+3}dz\,\,dxdy=\iint\limits_{A} \left(-3x^2-4y^2+3x+4y \right)\,\,dxdy\\
&=\iint\limits_{A} \left[ \frac{7}{4}-3\left(x-\frac{1}{2}\right)^2-4\left(y-\frac{1}{2}\right)^2 \right]\,\,dxdy,
\end{align}
dove l'insieme $A$ è definito come
\[A:=\left\{(x,y)\in\mathbb{R}^2: \frac{\left(x-\frac{1}{2}\right)^2}{\frac{7}{12}}+\frac{\left(y-\frac{1}{2}\right)^2}{\frac{7}{16}}\le1\right\};\]
a questo punto è opportuno operare un cambio di variabile e porre
\[ x-\frac{1}{2}= u,\qquad y-\frac{1}{2}=v,\qquad J_{u,v}=1,\]
in modo che l'insieme $A$ divenga
\[A':=\left\{(u,v)\in\mathbb{R}^2: \frac{u^2}{\frac{7}{12}}+\frac{v^2}{\frac{7}{16}}\le1\right\},\]
e l'integrale
\begin{align}
\iint\limits_{A'} \left[ \frac{7}{4}- 3u^2-4v^2\right]\,\,dudv;
\end{align}
ora si che è conveniente passare in coordinate ellittiche, cioè porre:
\begin{align}
u=\frac{\sqrt7}{2\sqrt3}\rho\cos\vartheta,&\quad v=\frac{\sqrt7}{4}\rho\sin\vartheta,\qquad J_{\rho,\vartheta}=\frac{7}{8\sqrt3}\,\,\rho\\
&\rho\in[0;1],\quad\vartheta\in[0,2\pi]
\end{align}
e quindi l'integrale
\begin{align}
\iint\limits_{A'} \left[\frac{7}{4}-3u^2+4v^2 \right]\,\,dudv&=\int_{\rho=0}^{1}\int_{\vartheta=0}^{2\pi}\left(\frac{7}{4}-\frac{7}{4}\rho^2\cos^2\vartheta-\frac{7}{4}\rho^2\sin^2\vartheta \right)\frac{7}{8\sqrt3}\,\,\rho\,\,d\rho d\vartheta\\
&=\frac{49}{32\sqrt3}\int_{\rho=0}^{1}\int_{\vartheta=0}^{2\pi}( \rho-\rho^3)\,\,d\rho d\vartheta =\frac{49\pi}{16\sqrt3} \left[\frac{\rho^2}{2}-\frac{\rho^4}{4} \right]_{\rho=0}^{1} = \frac{49\pi}{64\sqrt3} .
\end{align}
Mi si è aperto un mondo! 
Grazie mille per l'aiuto.
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