Volume di un cilindro compreso tra due piani
Il testo di un esercizio mi chiede di calcolare il volume del solido K di un cilindro C con generatrici parallele a $ v=(2,3,1) $ tale che $ C nn {z=0}={(u,v,0):4u^2 +v^2 <=16} $ che è compreso tra due piani: $ K=C nn {0<=x+2z<=1} $
Ho provato così:
Anzitutto la curva che proietta il cilindro è un ellisse, sul piano z=0.
L'ellisse che facendo due conti risulta essere: $ u^2 /4+v^2 /16=1 $
Parametrizzabile in $ (2cos(theta), 4 sin(theta), 0) $
Una parametrizzazione del cilindro potrebbe essere :
$ (x,y,z)=(2cos theta +2v , 4 sin theta +3v , z=v) $
Riarrangiando trovo:
$ Cos theta =x/2 -z , sin theta =y/4 -3z/4 $
Sommando membro a membro ed elevando al quadrato, se non ci sono errori, dovrei ottenere l'equazione cartesiana del cilindro:
$ 1=(x/2 -z)^2 +(y/4 -3z/4)^2 $
Oltre al dilemma se è tutto fin qui corretto, non saprei andare avanti a calcolare il volume richiesto.
Anche perché mettendo a sistema con i piani ottengo funzioni abbastanza scomode.
Vi ringrazio
Ho provato così:
Anzitutto la curva che proietta il cilindro è un ellisse, sul piano z=0.
L'ellisse che facendo due conti risulta essere: $ u^2 /4+v^2 /16=1 $
Parametrizzabile in $ (2cos(theta), 4 sin(theta), 0) $
Una parametrizzazione del cilindro potrebbe essere :
$ (x,y,z)=(2cos theta +2v , 4 sin theta +3v , z=v) $
Riarrangiando trovo:
$ Cos theta =x/2 -z , sin theta =y/4 -3z/4 $
Sommando membro a membro ed elevando al quadrato, se non ci sono errori, dovrei ottenere l'equazione cartesiana del cilindro:
$ 1=(x/2 -z)^2 +(y/4 -3z/4)^2 $
Oltre al dilemma se è tutto fin qui corretto, non saprei andare avanti a calcolare il volume richiesto.
Anche perché mettendo a sistema con i piani ottengo funzioni abbastanza scomode.
Vi ringrazio
Risposte
Qualche anima buona riesce ad aiutarmi ?
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