Volume di Rotazione - Area intersezione di due cerchi
Buongiorno ragazzi,
sto preparando il parziale di Analisi II e non so più dove battere il capo con questi 2 esercizi:
1.
Sono nello spazio (x,y,z) e ho il triangolo di vertici (0,0,0), (0,1,a), (0,1,1), a>1. Devo trovare a in modo che il volume del solido ottenuto con una rotazione attorno all'asse z sia uguale a 3.
Come prima cosa ho trovato l'equazione delle due rette che uniscono i punti (0,0,0) con (0,1,a) e (0,0,0) con (0,1,1), cioè le rette z=ay e z=y. Poi, applicando il teorema di Guldino ho imposto:
$2Pi int_(D)^() ydy dz --> 2Piint_(0)^(a) y dy int_(y)^(ay) dz $
Svolgendolo e impostando l'uguaglianza ottengo $2/3Pi*(a-1)*a^3=3 $che non so risolvere. C'è qualche procedimento alternativo?
2.
Sono nel piano (x,y) e ho la circonferenza di centro (4,0) e raggio 3, cioè $(x-4)^2+y^2=9$ e la circonferenza di centro (0,0) e raggio 2, $x^2+y^2=4$. Devo trovare l'intersezione delle due circonferenze.
Prima ho trovato l'intersezione delle due circonferenze, cioè in $x=11/8$ e $y=+-3sqrt(15)/8$
Poi ho impostato l'integrale doppio:
$int_(-3sqrt(15)/8)^(3sqrt(15)/8 ) dy int_(4-sqrt(9-y^2))^(sqrt(4-y^2) ) dx $
Che non mi da alcun risultato.
Grazie per l'aiuto
sto preparando il parziale di Analisi II e non so più dove battere il capo con questi 2 esercizi:
1.
Sono nello spazio (x,y,z) e ho il triangolo di vertici (0,0,0), (0,1,a), (0,1,1), a>1. Devo trovare a in modo che il volume del solido ottenuto con una rotazione attorno all'asse z sia uguale a 3.
Come prima cosa ho trovato l'equazione delle due rette che uniscono i punti (0,0,0) con (0,1,a) e (0,0,0) con (0,1,1), cioè le rette z=ay e z=y. Poi, applicando il teorema di Guldino ho imposto:
$2Pi int_(D)^() ydy dz --> 2Piint_(0)^(a) y dy int_(y)^(ay) dz $
Svolgendolo e impostando l'uguaglianza ottengo $2/3Pi*(a-1)*a^3=3 $che non so risolvere. C'è qualche procedimento alternativo?
2.
Sono nel piano (x,y) e ho la circonferenza di centro (4,0) e raggio 3, cioè $(x-4)^2+y^2=9$ e la circonferenza di centro (0,0) e raggio 2, $x^2+y^2=4$. Devo trovare l'intersezione delle due circonferenze.
Prima ho trovato l'intersezione delle due circonferenze, cioè in $x=11/8$ e $y=+-3sqrt(15)/8$
Poi ho impostato l'integrale doppio:
$int_(-3sqrt(15)/8)^(3sqrt(15)/8 ) dy int_(4-sqrt(9-y^2))^(sqrt(4-y^2) ) dx $
Che non mi da alcun risultato.
Grazie per l'aiuto
Risposte
1) $y$ varia tra $0$ e $1$, non tra $0$ e $a$ 
Osserva che in questo caso, l'esercizio poteva essere risolto anche in maniera elementare. Infatti il baricentro del triangolo ha come coordinate la media aritmetica delle coordinate dei vertici: $(0,\frac{2}{3}, \frac{a+1}{3})$. La distanza del baricentro dall'asse $z$ è dunque $d= 2/3$.
Inoltre l'area del triangolo è la differenza delle aree dei triangoli di base $1$ e altezza rispettivamente $a$ e $1$. Perciò $A = \frac{a-1}{2}$.
Per il teorema di Guldino, $$V = \alpha \cdot d \cdot A = \frac{2}{3}\pi (a-1)$$
2) In che senso non ti dà alcun risultato?
Osserva che in questo caso, l'esercizio poteva essere risolto anche in maniera elementare. Infatti il baricentro del triangolo ha come coordinate la media aritmetica delle coordinate dei vertici: $(0,\frac{2}{3}, \frac{a+1}{3})$. La distanza del baricentro dall'asse $z$ è dunque $d= 2/3$.Inoltre l'area del triangolo è la differenza delle aree dei triangoli di base $1$ e altezza rispettivamente $a$ e $1$. Perciò $A = \frac{a-1}{2}$.
Per il teorema di Guldino, $$V = \alpha \cdot d \cdot A = \frac{2}{3}\pi (a-1)$$
2) In che senso non ti dà alcun risultato?
Grazie mille per il primo punto, sono stato due ore a cercare l'errore 
Risolvendo l'integrale ottengo:
$y/2sqrt(4-y^2) + 2arcsin(y/2) -4y+y/2sqrt(9-y^2) +9/2arcsin(y/3)$
da calcolare nei due estremi. Però l' $arcsin(3sqrt(15)/4)$ non esiste in quanto maggiore di 1
Risolvendo l'integrale ottengo:
$y/2sqrt(4-y^2) + 2arcsin(y/2) -4y+y/2sqrt(9-y^2) +9/2arcsin(y/3)$
da calcolare nei due estremi. Però l' $arcsin(3sqrt(15)/4)$ non esiste in quanto maggiore di 1
Hai moltiplicato per 2 invece che dividere (nell'argomento dell'arcoseno).
Oddio... grazie mille
No problem 
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