Volume di rotazione

[Meringolo1]

La regione R delimitata da $y=x^-13, y=0, x=1,x=8$ viene fatta ruotare attorno all'asse x e attorno all'asse y.
Calcolare il volume del solido di rotazione.

La rotazione lungo l'asse x non è un problema perchè applico la formula $\int_1^8 pi [f(x)]^2dx$
ossia $pi*\int_1^8 (x^-13)^2 dx$
ma quella lungo l'asse y non posso usare la formula $\int_1^8 2pixf(x)dx$ perchè lintegrale parte da $1$

Dovrei fare un cambiamento di variabili?

[Meringolo1]

Quindi mi stai dicendo che posso usare la formula $\int_1^8 2pixf(x)dx$ per calcolare il volume del solido di rotazione lungo l'asse y?

quindi $2pi\int_1^8x*x^-13dx$
$2pi\int_1^8x^-12dx$
$-2pi*12x^-13\|_1^8 $

[Meringolo1]

Ok, banale svista mia...grazie mille

[Meringolo1]

E se invece avessi avuto come asse di rotazione non l'asse $y=0$ ma un asse diverso avrei dovuto fare un cambio di variabili?
Oppure potrei traslare la funzione in modo tale da risultare il nuovo asse di rotazione l'asse $y=0$ e poi applicare la formula per calcolare l'area compresa tra due funzioni $int _a ^b abs(f(x)^2 - g(x)^2) dx$ contemporaneamente a quella per la rotazione attorno all'asse $x$?
Ad esempio se ho l'area sottesa dalla curva $f(x)=1-x^2$ per $0 Quindi $pi*int _0 ^1 abs((-3-x^2)^2 -(4)^2)^2 dx$
é giusto come applico il quadrato?

[Meringolo1]

Grazie TeM, ma il punto è che questo sarà un esercizio di analisi 1 e mi pare che tu usi gli integrali doppi che non abbiamo fatto.
In ogni modo il professore penso voglia che usiamo insieme il metodo per calcolare l'area tra due funzioni e quello per calcolare il volume di rotazione di tale sezione attorno a un asse, perciò avevo impostato il problema in quel modo.