Volume di rotazione

[Meringolo1]

Mi trovo a calcolare il seguente volume di rotazione e volevo sapere se il ragionamento è corretto:

Calcolare il volume che si ottienne facendo ruotare l'insieme dei punti tali che $ 0<=y<=1-x^2$ attorno alla retta $ y=3$.
Gli estremi di integrazione sono quindi $ -1, 1 $.

Devo traslare il grafico in modo tale che la rotazione avvenga l'ungo l'asse delle ascisse ( $y=0$ )

$\{(\bary = y-3 ),(\barx = x):}$

da cui $ y = \bary +3$

quindi $y = 1-x^2$ diventa

$\bary + 3 = 1 - x^2$ cioè

$\bary = -2-x^2$

Se prima la regione del piano era compresa dalla parabola $ -x^2 +1$ e la retta $y=0$, dopo la traslazione sarà compresa tra

$ \bary = -2-x^2$ e $ \bary=-3$.

L'area compresa tra i due grafici è

$int _-1^1 abs(-2-x^2 - 3) dx$

cioè

$int _-1^1 abs(-x^2 - 5) dx$

Applico la formula per i volumi di rotazione lungo l'asse $x$

$pi int_-1^1 abs(-x^2-5)^2 dx$

$= pi int _-1^1 ( x^4+10x^2+25) dx$

$= pi [1/5 x^5 + 10/3 x^3 + 25 x ] _-1^1 $

e da qui svolgere i calcoli.

é corretto?

[Meringolo1]

Svolgendo i calcoli viene $856/15 pi$