Volume dell'intersezione di due superfici
ciao a tutti,
sono alle prese da giorni con un integrale triplo che non riesco proprio ad impostare.
in particolare non riesco ad impostare per bene il dominio di integrazione.
la traccia è: dato paraboloide a simmetria cilindrica con asse coincidente con l'asse z ( x^2 + y^2 = z ) ed il piano z - y = 0, calcolare il volume dell'intersezione.
io ho pensato di usare le coordinate sferiche, ma mi perdo nella definizione del dominio di integrazione. svolgere l'integrale dopo non è un problema. il problema è proprio trovare il dominio di integrazione... ._.
mi date una mano?
sono alle prese da giorni con un integrale triplo che non riesco proprio ad impostare.
in particolare non riesco ad impostare per bene il dominio di integrazione.
la traccia è: dato paraboloide a simmetria cilindrica con asse coincidente con l'asse z ( x^2 + y^2 = z ) ed il piano z - y = 0, calcolare il volume dell'intersezione.
io ho pensato di usare le coordinate sferiche, ma mi perdo nella definizione del dominio di integrazione. svolgere l'integrale dopo non è un problema. il problema è proprio trovare il dominio di integrazione... ._.
mi date una mano?
Risposte
Allora, abbiamo 2 superfici, un piano e un paraboloide.
La loro intersezione è una curva.
in tutti i punti della curva sia il parab che il piano hanno la stessa $z$, giusto ? Si incrociano, quindi....
per cui li mettiamo a sistema, uguagliando la $z$
[tex]\left\{\begin{matrix}
z=x^2+y^2\\
z=y
\end{matrix}\right.[/tex]
Otteniamo $x^2+y^2-y=0$
Che cos'è ?
Quello che si ottiene è un dominio, un'area su xy dove noi andremo ad integrare.
In ogni punto dell'area conosci la $z$ del piano e quella del parab, quindi trovare il volume non dovrebbe essere difficile...
La loro intersezione è una curva.
in tutti i punti della curva sia il parab che il piano hanno la stessa $z$, giusto ? Si incrociano, quindi....
per cui li mettiamo a sistema, uguagliando la $z$
[tex]\left\{\begin{matrix}
z=x^2+y^2\\
z=y
\end{matrix}\right.[/tex]
Otteniamo $x^2+y^2-y=0$
Che cos'è ?
Quello che si ottiene è un dominio, un'area su xy dove noi andremo ad integrare.
In ogni punto dell'area conosci la $z$ del piano e quella del parab, quindi trovare il volume non dovrebbe essere difficile...
ah ok! quindi usando le coordinate cilindriche!
prima integro su z nell'intervallo [x^2+y^2; y] e poi uso le coordinate polari per integrare su una circonferenza di raggio 1/2 e centrata in (x,y) = (0, 1/2)
fantastico!
e dire che ci ho riflettuto su più e più volte, ma continuavo a voler integrare in coordinate sferiche, e così trovavo disequazioni che non capivo e che dovevano darmi il dominio di integrazione
grazie mille.
avrei dovuto girare meglio il grafico delle due figure con gnuplot in effetti... ^^
prima integro su z nell'intervallo [x^2+y^2; y] e poi uso le coordinate polari per integrare su una circonferenza di raggio 1/2 e centrata in (x,y) = (0, 1/2)
fantastico!
e dire che ci ho riflettuto su più e più volte, ma continuavo a voler integrare in coordinate sferiche, e così trovavo disequazioni che non capivo e che dovevano darmi il dominio di integrazione
grazie mille.
avrei dovuto girare meglio il grafico delle due figure con gnuplot in effetti... ^^
.... allora avevi anche disegnato la figura 
.... scherzo....
eccola !!!
Il "buco" è creato dall'intersezione col piano.
.... scherzo....eccola !!!
Il "buco" è creato dall'intersezione col piano.
si, l'avevo rappresentata con gnuplot. ma credevo fosse una specie di "ovoide".
poi... un po' di comprensione... ._. analisi 2 devo ancora darla e su questi giochetti con i solidi devo ancora farci la mano
poi... un po' di comprensione... ._. analisi 2 devo ancora darla e su questi giochetti con i solidi devo ancora farci la mano
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