Volume della sfera n-dimensionale

[momo16]

Buonasera,
attraverso le coordinate polari in n-dimensioni, è possibile calcolare il volume della ipersfera.
In tutte le trattazioni viene in precedenza introdotto $Wn$, superficie della ipersfera di raggio unitario.
Mi è abbastanza chiaro come si trovi il determinante della matrice jacobiana della trasformazione in cordinate polari ma non capisco quando viene introdotta la notazione $Wn$ per una generica funzione radiale $f(p)$ su un dominio rappresentato da una sfera:
$int_({ul(x) in R^n: |ul(x) |
Perchè $Wn$ ha il significato di area della superficie di raggio unitario?

Grazie della cortese attenzione.

[gugo82]

"momo1":Buonasera,
attraverso le coordinate polari in n-dimensioni, è possibile calcolare il volume della ipersfera.
In tutte le trattazioni viene in precedenza introdotto $Wn$, superficie della ipersfera di raggio unitario.
Mi è abbastanza chiaro come si trovi il determinante della matrice jacobiana della trasformazione in cordinate polari ma non capisco quando viene introdotta la notazione $Wn$ per una generica funzione radiale $f(p)$ su un dominio rappresentato da una sfera:
$int_({ul(x) in R^n: |ul(x) |
Perchè $Wn$ ha il significato di area della superficie di raggio unitario?

L'idea delle coordinate polari è quella di scomporre l'integrale nel contributo su ogni superficie sferica con raggio \( 0\leq r\leq R\); dunque:
\[
\int_{B(0;R)} f(|x|)\ \text{d} x = \int_0^R \int_{\partial B(0;r)} f(r)\ \text{d}S\text{d}r
\]
in cui \(\text{d}S\) indica un'appropriata misura di superficie (e.g., la misura di Hausdorff $(N-1)$-dimensionale); per ovvie ragioni hai:
\[
\int_{B(0;R)} f(|x|)\ \text{d} x = \int_0^R f(r)\ \left(\int_{\partial B(0;r)} \text{d}S\right)\ \text{d}r
\]
e, per ogni $r\in [0,R]$, l'integrale di superficie più interno restituisce la misura \((N-1)\)-dimensionale della superficie sferica di raggio $r$, diciamola \(\mathcal{H}^{N-1}(\partial B(0;r))\).
Con argomenti geometrici si vede che la misura $(N-1)$-dimensionale è $(N-1)$-omogenea, nel senso che se due superfici $S,\Sigma$ sono omotetiche con rapporto $\lambda$, cioè se $\Sigma =\lambda S$, allora la misura \((N-1)\)-dimensionale di $\Sigma$ è uguale a $\lambda^{N-1}$ per la misura \((N-1)\)-dimensionale di $S$; dato che la superficie $\partial B(0;r)$ è omotetica alla superficie della sfera unitaria $\partial B(0;1)$ con rapporto $\lambda = r$, cioè dato che \(\partial B(0;r) = r\partial B(0;1)\), si trova:
\[
\mathcal{H}^{N-1}(\partial B(0;r)) = r^{N-1}\ \mathcal{H}^{N-1}(\partial B(0;1)) = r^{N-1}\ \omega_N\; ,
\]
in cui si è posto per definizione \(\omega_N = \mathcal{H}^{N-1}(\partial B(0;1))\).
Pertanto dalla formula delle coordinate polari segue:
\[
\int_{B(0;R)} f(|x|)\ \text{d} x = \omega_N\ \int_0^R f(r)\ r^{N-1}\ \text{d}r\; ,
\]
in cui appare la misura della superficie della sfera unitaria \(\omega_N\).

[momo16]

Grazie per la risposta!
Penso comunque di non avere gli strumenti per cogliere a fondo tutto.. Le mie conoscenze di matematica si fermano a Analisi I,II e Algebra lineare.

Non mi è molto chiaro il punto
"Con argomenti geometrici si vede che la misura $(N−1$)-dimensionale è$ (N−1)$-omogenea, nel senso che se due superfici $S,Σ$ sono omotetiche con rapporto$ λ$, cioè se$ Σ=λS$, allora la misura $(N−1)$-dimensionale di $Σ$ è uguale a$ λ^(N−1)$ per la misura $(N−1)$-dimensionale di $S$"

Mi è più chiara ora l'idea dell'integrazione vista come contributo di ogni superficie $0<=r<=R$-. Quando calcolo il volume della sfera di raggio $R$ faccio
$omega n int_(0)^(R)p^(n-1)dp$ giusto?

[gugo82]

"momo1":Grazie per la risposta!
Penso comunque di non avere gli strumenti per cogliere a fondo tutto.. Le mie conoscenze di matematica si fermano a Analisi I,II e Algebra lineare.

Beh, ma visto che studi robe "avanzate", il tuo background va necessariamente rivisto ed ampliato!

"momo1":Non mi è molto chiaro il punto
"Con argomenti geometrici si vede che la misura $(N−1$)-dimensionale è$ (N−1)$-omogenea, nel senso che se due superfici $S,Σ$ sono omotetiche con rapporto$ λ$, cioè se$ Σ=λS$, allora la misura $(N−1)$-dimensionale di $Σ$ è uguale a$ λ^(N−1)$ per la misura $(N−1)$-dimensionale di $S$"

Per chiarirti le idee, pensa alla misura $(N-1)$-dimensionale come la misura dell'area di superficie delle figure dello spazio tridimensionale della Geometria Elementare...

Ad esempio, prendi un quadrato $Q$, diciamo di lato $l>0$, immerso nello spazio tridimensionale (praticamente, un foglio quadrato di carta con spessore "piccolo", messo a casaccio -ma dritto, senza essere "incurvato"- nello spazio).
L'area di $Q$ è data dalla nota formula \(\operatorname{area} (Q) = l^2\), mentre il volume di $Q$ è nullo (perchè $Q$ è una figura bidimensionale -o "piana"- immersa in uno spazio a tre dimensioni, quindi non può avere volume $>0$).
Considera ora il quadrato \(Q^\prime\) che si ottiene da $Q$ applicando un'omotetia di rapporto $\lambda$, cioè \(Q^\prime = \lambda Q\); il quadrato \(Q^\prime\) ha lato \(l^\prime = \lambda l\) e dunque ha anche:
\[
\begin{split}
\operatorname{area} (Q^\prime) &= (l^\prime)^2 \\
&=\lambda^2\cdot l^2\\
&=\lambda^2\cdot \operatorname{area} (Q)\; .
\end{split}
\]
Questa relazione la puoi esprimere dicendo che:
\[
\operatorname{area} (\lambda Q) = \lambda^2\cdot \operatorname{area} (Q)\; .
\]
Orbene, facendo altri esempi[nota]Prendi la superficie laterale di un cubo, di un parallelepipedo, di una sfera, di un cono, o di una figura piana (che so, un esagono regolare!) immersa nello spazio...[/nota] puoi facilmente convincerti che la misura dell'area delle superfici elementari immerse nello spazio tridimensionale ha questa proprietà: per ogni fissata superficie $S$ e per ogni numero \(\lambda >0\), la misura dell'area della superficie $\Sigma = \lambda S$ che si ottiene da $S$ mediante un'omotetia è uguale al prodotto di $\lambda^2$ per l'area di $S$, cioè che vale:
\[
\operatorname{area} (\lambda S) = \lambda^2 \cdot \operatorname{area} (S).
\]
Questa proprietà si esprime dicendo che la misura dell'area delle superfici è omogenea di grado $2$.

La cosa divertente è che tale proprietà vale del tutto in generale quando nello spazio $N$-dimensionale sia assegnata un'adeguata misura per gli oggetti $(N-1)$-dimensionali... Solo che il grado di omogeneità aumenta!
In particolare, detta \(\mathcal{H}^{N-1}\) la misura che prende il posto dell'area delle superfici nello spazio $N$-dimensionale, si trova che:
\[
\mathcal{H}^{N-1} (\lambda S) = \lambda^{N-1}\cdot \mathcal{H}^{N-1}(S)
\]
per ogni "oggetto" $(N-1)$-dimensionale $S$ ed ogni \(\lambda >0\). Ciò si esprime dicendo che la misura \(\mathcal{H}^{N-1}\) è omogenea di grado $N-1$.

"momo1":Mi è più chiara ora l'idea dell'integrazione vista come contributo di ogni superficie $0<=r<=R$-. Quando calcolo il volume della sfera di raggio $R$ faccio
$omega n int_(0)^(R)p^(n-1)dp$ giusto?

Certo, poiché per calcolare una misura $N$-dimensionale devi integrare la funzione $f(x)=1$ sul tuo insieme.

[momo16]

Grazie davvero molte per queste considerazione euristiche!

In realtà questi argomenti sono nella parte finale del mio corso di Analisi II di un cdl di in statistica e la trattazione che c'è nel Bramanti-Pagani-Salsa è molto sommaria: dà per noto (e qui non penso perchè troppo semplici, ma probabilmente perchè esulano dagli scopi del corso, no?) tutto ciò che mi hai scritto..

PS: bazzicando online mi sembra di capire che ci sono parecchi collegamenti tra questo argomento e la statistica, o sbaglio?