Volume con integrale triplo

dem1509
Ciao! Devo calcolare il volume della porzione di spazio tra il paraboloide e la sfera che hanno le seguenti equazioni:
$z<=2x^2+2y^2$ e $x^2+y^2+z^2<=2z$
Ho pensato di usare le coordinate sferiche:
$x= rho sin(vartheta)cos(varphi)$
$y= rho sin(vartheta)sin(varphi)$
$x= rho cos(vartheta)$
Non riesco perà a trovare gli estremi di integrazione: $varphi$ dovrebbe essere tra 0 e $2pi$, poi però non so come trovare gli altri due! Grazie per l'aiuto!

Risposte
dan952
Io avrei tentato con le coordinate cilindriche

dem1509
"dan95":
Io avrei tentato con le coordinate cilindriche

e come faccio a capire quando usare le une o le altre?

dan952
Beh qua ti accorgi da solo che usando le cilindriche i termini $x^2+y^2$ di semplificano in $\rho^2$ così facendo rimangono solo $z$ e $\rho$, mentre con le sferiche bisogna fare anche valutazioni sugli angoli per trovare gli estremi di integrazione.

Per domini come questo $S={(x,y,z) \in RR^3| x^2+y^2+z^2<2x, z^2

dem1509
Ho provato a disegnare il paraboloide e la sfera ponendo y=0,Quindi, se ho fatto bene i conti, la sfera ha centro in z=1, quindi z varia tra 0 e 2 , $vartheta$ tra 0 e $2pi$ mentre $sqrt(z/2)<=rho<=sqrt(2z-z^2)$. Mi confermi oppure ho sbagliato qualcosa?

dem1509
Ho provato a disegnare il paraboloide e la sfera ponendo y=0,Quindi, se ho fatto bene i conti, la sfera ha centro in z=1, quindi z varia tra 0 e 2 , $vartheta$ tra 0 e $2pi$ mentre $sqrt(z/2)<=rho<=sqrt(2z-z^2)$. Mi confermi oppure ho sbagliato qualcosa?

dan952
Per trovare gli estremi di integrazione di $z$ risolviamo la seguente disequazione [nota]Deriva dal fatto che $\sqrt{z/2} \leq \rho \leq \sqrt{2z-z^2} \Rightarrow \sqrt{z/2}\leq \sqrt{2z-z^2}$[/nota]:
$\sqrt{z/2}\leq \sqrt{2z-z^2} \Rightarrow |z/2|\leq |2z-z^2|$
A noi interessano solo le soluzioni che si trovano all'interno della sfera quindi quella disequazione si riduce a $z/2 \leq 2z-z^2$ la cui soluzione è $z \in [0,3/2]$, quindi gli estremi di integrazione per $z$ sono 0 e 3/2.

quantunquemente
secondo me così però non è chiaro l'ambito in cui devono variare $x,y$
io ho ragionato in questo modo
deve essere $z leq2x^2+2y^2;1-sqrt(1-x^2-y^2)leqzleq1+sqrt(1-x^2-y^2)$

se non ho fatto male i calcoli si ha
$1-sqrt(1-x^2-y^2)leq2x^2+2y^2leq1+sqrt(1-x^2-y^2)$ per $x^2+y^2leq3/4$
$1-sqrt(1-x^2-y^2)leq1+sqrt(1-x^2-y^2)leq2x^2+2y^2$ per $3/4leqx^2+y^2leq1$
da qui con le coordinate cilindriche calcoli il volume come somma di 2 integrali tripli

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