Volume

[ELWOOD1]

Ciao ragazzi non so più dove sbattere la testa per cercare di risolvere questo volume...probabilmente perchè mi sono fissato a farlo in c. cilindriche ma non vedo altra via!
Il volume è limitato dal cilindro ellittico $(x^2)/4+y^2=1$ e dai piani $z=1$ e $z=1-\sqrt{3}x-3y$

provando in cilindriche non so da dove a dove varia il raggio, perchè dimunisce man mano che $z$ diminuisce....mi serve proprio un'illuminazione

Grazie

[_Tipper]

Non vorrei dire bestemmie (se così non fosse, mazzulatemi! ), ma l'integrale si può scrivere così

$\int \int_{A_1} (\int_{1}^{1 - \sqrt{3}x - 3y} dz) dxdy + \int \int_{A_2} (\int_{1 - \sqrt{3}x - 3y}^{1} dz) dxdy$

dove

$A_1 = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2: \frac{x^2}{4} + y^2 \le 1, 1 \le 1 - \sqrt{3} x - 3y\} = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2: \frac{x^2}{4} + y^2 \le 1, x \le -\sqrt{3}y\}$

$A_2 = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2: \frac{x^2}{4} + y^2 \le 1, 1 \ge1 - \sqrt{3} x - 3y\} = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2: \frac{x^2}{4} + y^2 \le 1, x \ge - \sqrt{3}y\}$

e ora vai in coordinate polari.

[ELWOOD1]

ok ma è lo stesso discorso mi sa, essendo un paraboloide ellittico man mano che z scende il raggio varia...cioè in parole povere non so con esattezza gli estremi d'integrazione dell'integrale in $dR$

Pensavo di trovare il dominio d'intersezione tra i 2 e integrare quello dal piano 2 al piano $z=1$ ma probabilmente il piano 2 taglia $z=1$ un pezzo sopra e un pezzo sotto....
In qualche modo sono convinto che si possa fare senza spezzarlo....tipo come la finestra di viviani



Ps: what is "mazzulatemi" ???

[_Tipper]

Se quello è ho scritto va bene (non è intervenuto nessuno ancora, vuoi vedere che c'ho preso? ), l'integrale equivale a (scrivo solo la prima parte):

$\int \int_{A_1} (- \sqrt{3} x - 3y) dxdy$

Passando in coordinate polari:

$x = 2 \rho \cos(\theta)$

$y = \rho \sin(\theta)$

$\rho \in [0, +\infty) \quad \quad \theta \in [0, 2 \pi]$

Si calcola il determinante dello Jacobiano (vado a memoria: $2 \rho$), poi, per trovare gli estremi di integrazione, si sostituiscono i valori di $x$ e $y$ in funzione di $\rho$ e $\theta$ nei vincoli:

$\frac{x^2}{4} + y^2 \le 1 \quad \implies \quad \rho^2 \cos^2(\theta) + \rho^2 \sin^2(\theta) \le 1 \quad \implies \quad \rho \in [0. 1]$

$2 \rho \cos(\theta) \le -\sqrt{3} \rho \sin(\theta)$

Dalla seconda si trova l'intervallo in cui varia $\theta$ (non mi pare sia un arco notevole), e così si sono trovati gli estremi di integrazione.

[ELWOOD1]

Certo che mi fido...sicuramente ne sai più di me su ste cose, grazie mille....mi sono impantanato proprio perchè credevo sia un arco notevole! cocciuto che sono

buona serata!