Visto che si parla di Cantor...

[Principe2]

Mostrare che l'insieme di Cantor (si veda per la def "Uber's function") è totalmente
sconnesso, ovvero che non contiene segmenti.

nota:
esiste una dimostrazione facile in cui serve la solita idea
e qualche conto

[Kroldar]

hmmmm non me ne intendo di topologia però dalla definizione ricorsiva dell'insieme di Cantor soffermiamoci sul primo passo: eliminare l'aperto $(1/3,2/3)$ dal compatto $[0,1]$, quindi dopo il primo passo otteniamo l'insieme
$[0,1/3]uu[2/3,1]$. L'insieme di Cantor è dato dall'unione di sottoinsiemi propri dei due intervalli chiusi $[0,1/3]$ e
$[2/3,1]$ che sono disgiunti. Dunque esistono almeno due chiusi non vuoti e disgiunti la cui unione è proprio l'insieme di Cantor... può bastare come prova?
EDIT: no, in effetti quel "totalmente" l'avevo ignorato

[Principe2]

questo prova che è sconnesso.. che è verissimo...
mostrare che è totalmente sconnesso è un pò
più faticoso...
ad esempio l'insieme $[0,1/3]\cup[2/3,1]$ è sconnesso
ma non totalmente perchè contiene segmenti...

p.s.
si può dimostrare senza topologia

[Kroldar]

in pratica bisogna dimostrare che comunque si prendano due punti dell'insieme di Cantor esiste sempre almeno un punto intermedio non appartenente all'insieme? è questa la strada?

[Principe2]

devi dimostrare quello ma la strada semplice
che conosco io non è quella...
ciò non toglie che magari è facile dimostrare
quello che dici

[Kroldar]

dopo l'$n$-esimo passo, l'insieme di Cantor è formato da $2^n$ chiusi disgiunti ciascuno di misura pari a $(1/3)^n$, dunque la misura totale dell'insieme è $(2/3)^n$... sappiamo che per $n$ tendente a $+oo$ il limite di $(2/3)^n$ è $0$, quindi dalla definizione di limite $AA epsilon>0 EE nu>0:n>nu=>(2/3)^n che ne dici?

[Principe2]

bravissimo!!!

l'insieme di Cantor ha misura nulla e quindi non può contenere segmenti.

[Kroldar]

"ubermensch":
l'insieme di Cantor ha misura nulla e quindi non può contenere segmenti.

arghhhhh ora che mi ci fai pensare bastava dire esplicitamente che l'insieme ha misura nulla secondo Lebesgue (banalissimo da dimostrare)

cmq per allacciarmi a un altro topic in cui si parla appunto dei problemi che proponi penso che fai un grande favore a tutti:
- chi non ci capisce una mazza almeno sa dell'esistenza di cose che prima ignorava
- chi sa già tutto si mantiene in allenamento
- chi sa qualcosa approfondisce

[Principe2]

"Kroldar":
arghhhhh ora che mi ci fai pensare bastava dire esplicitamente che l'insieme ha misura nulla secondo Lebesgue (banalissimo da dimostrare)

dai su... non era banalissimo... la domanda era posta in altri termini... se avessi detto mostrare che l'insieme di Cantor
ha misura nulla era banale... cosi invece no!

"Kroldar":
cmq per allacciarmi a un altro topic in cui si parla appunto dei problemi che proponi penso che fai un grande favore a tutti:
- chi non ci capisce una mazza almeno sa dell'esistenza di cose che prima ignorava
- chi sa già tutto si mantiene in allenamento
- chi sa qualcosa approfondisce

eh già...
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