Visione alternativa sulla definizione di differenziabilità.
Salve! Mi stavi inceppando il cervello cercando di dimostrare che data una curva e un punto Po appartente ad essa ,la retta tangente fosse la migliore approssimazione di essa in un intorno abbastanza piccolo...anche se ancora non capisco l'effettivo passaggio grafico(intuitivamente si no riesco a renderlo rigoroso), comunque voglio proporvi una visione un po' particolare dela concezione "la retta che approssima nel miglior modo la funzione intorno a quel punto".
Da aspirante fisico che sono cercavo i modi per confrontare due quantità(o grandezze eheh) e mi son accorto di conoscere solo la differenza ed il rapporto, le due quantità son uguali se la differenza fa 0 o il rapporto fa 1. Lungo questa direzione i testi dicono che se una funzione è differenziabile in Po:
\(\displaystyle \Delta f = df + o(\Delta x) \)
Ora mi veniva da pensare, potremmo definirlo anche come : \(\displaystyle \frac{\Delta f} {df} \) tende ad uno più velocemente di quanto \(\displaystyle \Delta x \) tenda \(\displaystyle 0 \)
per \(\displaystyle \Delta x \rightarrow 0 \)
Questo secondo voi ci dice qualcosa in più?
Da aspirante fisico che sono cercavo i modi per confrontare due quantità(o grandezze eheh) e mi son accorto di conoscere solo la differenza ed il rapporto, le due quantità son uguali se la differenza fa 0 o il rapporto fa 1. Lungo questa direzione i testi dicono che se una funzione è differenziabile in Po:
\(\displaystyle \Delta f = df + o(\Delta x) \)
Ora mi veniva da pensare, potremmo definirlo anche come : \(\displaystyle \frac{\Delta f} {df} \) tende ad uno più velocemente di quanto \(\displaystyle \Delta x \) tenda \(\displaystyle 0 \)
per \(\displaystyle \Delta x \rightarrow 0 \)
Questo secondo voi ci dice qualcosa in più?
Risposte
Nessuno mi aiuta?
Secondo la mia visione filosofica 
dovresti in primo luogo definire che cosa intendi per 'migliore approssimazione di un funzione in un punto tramite una retta'.
Si può considerare come definizione la formula che hai scritto tu: $ Delta f=df+o(Delta x) $ .
Tu, mi sembra, stai cercando di manipolare la formula per renderla più 'trasparente' dal punto di vista intuitivo.
Quel limite che va a 1 sinceramente non lo vedo.
Si può scrivere così: $ Delta f-df=o(Delta x) $ , che ci dice che la differenza tra l'incremento della funzione e il differenziale va a 0 più velocemente di $ Delta x $ , o in altri termini che la differenza tra l'incremento della funzione e quello della retta tangente in un punto x_0 va a 0 con il tendere di x a x_0.
ma mi sa che tutto ciò lo sapevamo già...
dovresti in primo luogo definire che cosa intendi per 'migliore approssimazione di un funzione in un punto tramite una retta'.Si può considerare come definizione la formula che hai scritto tu: $ Delta f=df+o(Delta x) $ .
Tu, mi sembra, stai cercando di manipolare la formula per renderla più 'trasparente' dal punto di vista intuitivo.
Quel limite che va a 1 sinceramente non lo vedo.
Si può scrivere così: $ Delta f-df=o(Delta x) $ , che ci dice che la differenza tra l'incremento della funzione e il differenziale va a 0 più velocemente di $ Delta x $ , o in altri termini che la differenza tra l'incremento della funzione e quello della retta tangente in un punto x_0 va a 0 con il tendere di x a x_0.
ma mi sa che tutto ciò lo sapevamo già...
C'era un vecchio post di Fioravante Patrone riguardo una variante "geometrica" della definizione di differenziabilità. "Geometrica" si riferisce al fatto che usa la media geometrica in luogo della media aritmetica. Ricordo che alla fine della fiera Fioravante bollava il tutto come "vecchiume". Si vede che si tratta di una cosa proposta molto tempo fa e che non ha mai dato frutti. Prova a fare una ricerca sul forum.
"gabriella127":
Secondo la mia visione filosofica
Questa no è una visione filosofica! Il "metterci d'accordo sul significato delle parole " sembra molto più scientifico!
"gabriella127":
ma mi sa che tutto ciò lo sapevamo già...
Ed infatti questa faccenda l'ho vista da un po' tutte le parti, ho anche dimostrato(ipotizzando che per la retta tangente la differenza tra incremento e curva ed incremento retta fosse o-piccolo del Delta x) che ogni retta che non fosse tangente la differenza tra incrementi è dello steso ordine o maggiore...mi resta solo da lavorare sull'ipotesi.
"dissonance":
C'era un vecchio post di Fioravante Patrone riguardo una variante "geometrica" della definizione di differenziabilità. "Geometrica" si riferisce al fatto che usa la media geometrica in luogo della media aritmetica. Ricordo che alla fine della fiera Fioravante bollava il tutto come "vecchiume". Si vede che si tratta di una cosa proposta molto tempo fa e che non ha mai dato frutti. Prova a fare una ricerca sul forum.
Grazie mille, ora cercherò! Sono già contento che quello che pensavo non fosse un completo buco nel'acqua.
"Ariz93":[/quote]
[quote="gabriella127"]Secondo la mia visione filosofica
Questa no è una visione filosofica! Il "metterci d'accordo sul significato delle parole " sembra molto più scientifico!
Ma certo, era un scherzo. Però una definizione è qualcosa in più che 'mettersi d'accordo sulle parole', una nuova definizione è il risultato di un lavoro teorico, viene dopo, non è un preliminare 'mettersi d'accordo sulle parole'. Tu cerchi una definizione alternativa di differenziabilità a partire dall'idea di ' migliore approssimazione di una funzione in un punto mediante una retta', io dicevo di cercare di definire questa idea in modo non usuale, perché la formula che avevi scritto è quella usuale, tutto qui.
Dici che l'hai chiara dal punto di vista geometrico in che senso?
"gabriella127":
Ma certo, era un scherzo. Però una definizione è qualcosa in più che 'mettersi d'accordo sulle parole', una nuova definizione è il risultato di un lavoro teorico, viene dopo, non è un preliminare 'mettersi d'accordo sulle parole'. Tu cerchi una definizione alternativa di differenziabilità a partire dall'idea di ' migliore approssimazione di una funzione in un punto mediante una retta', io dicevo di cercare di definire questa idea in modo non usuale perché la formula che avevi scritto è quella usuale, tutto qui.
Il modo non usuale veniva appunto dallo studio teorico dell'approssimazione della curva studiando il confronto(tramite il rapporto e non la differenza) tra l'incremento sulla retta rispetto a quello sulla curva. (lo chiamo non usuale perché il confronto avviene tramite il rapporto e non la differenza tra gli incrementi.) Spero di essere stato chiaro!
"gabriella127":
Dici che l'hai chiara dal punto di vista geometrico in che senso?
Perdona la risposta tautologica ma l'ho chiara nel suo senso geometrico! Cioè ad un livello più profondo ho capito che tra tutte le rette quella che approssima la curva localmente nel punto è la retta tangente.(la dimostrazione non è difficile). Questo discorso parte dalla definizione del limite del rapporto incrementale.
Ora ho capito qual'è il mio problema che non mi rende chiaro un po' tutto il discorso(forse debbo rivedermi il concetto di limite) e cioè che la derivata nel punto è proprio il coefficiente angolare della retta tangente. Il problema è un po' questo cioè i libri lo danno come un dato di fatto non capisco come arrivarci usando il concetto di limite .(se non si capisce il mio dubbio è : come si passa in questo caso dal'analitica alla geometria cioè dalla definizione di derivata al coeff. angolare dellla retta tangente.)
Spero di essere stato chiaro!
il problema è un po' questo cioè i libri lo danno come un dato di fatto non capisco come arrivarci usando il concetto di limite .(se non si capisce il mio dubbio è : come si passa in questo caso dal'analitica alla geometria cioè dalla definizione di derivata al coeff. angolare dellla retta tangente.)
Sì sì, è chiarissimo. Hai ragione, molti libri non lo spiegano, ma alcuni sì.
Si tratta di trovare l'equazione della retta tangente ad un punto, poniamo $ P_0 $ di coordinate $ (x_0,f(x_0)) $ , al grafico di una funzione $ f(x) $ .
Si determina in primo luogo l'equazione di una retta secante il grafico della funzione in due punti $ P_0=(x_0,f(x_0)) $ e $ P=(x_0+h,f(x_0+h)) $ . Imponendo che la retta passi per i punti dati si ottiene l'equazione della secante:
$ y=f(x_0)+(f(x_0+h)-f(x_0))/h (x-x_0) $
Come vedi, il coefficiente angolare della secante è il rapporto incrementale. L'equazione della retta tangente, quando esiste, è il limite per $ hrarr 0 $ dell'equazione della retta secante (è così per definizione di retta tangente). Quindi se f è derivabile si ha l'equazione della retta tangente:
$ y=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0) $
Quindi la derivata della funzione in quel punto è il coefficiente angolare della retta tangente al grafico della funzione in quel punto.
il problema è un po' questo cioè i libri lo danno come un dato di fatto non capisco come arrivarci usando il concetto di limite .(se non si capisce il mio dubbio è : come si passa in questo caso dal'analitica alla geometria cioè dalla definizione di derivata al coeff. angolare dellla retta tangente.)
Sì sì, è chiarissimo. Hai ragione, molti libri non lo spiegano, ma alcuni sì.
Si tratta di trovare l'equazione della retta tangente ad un punto, poniamo $ P_0 $ di coordinate $ (x_0,f(x_0)) $ , al grafico di una funzione $ f(x) $ .
Si determina in primo luogo l'equazione di una retta secante il grafico della funzione in due punti $ P_0=(x_0,f(x_0)) $ e $ P=(x_0+h,f(x_0+h)) $ . Imponendo che la retta passi per i punti dati si ottiene l'equazione della secante:
$ y=f(x_0)+(f(x_0+h)-f(x_0))/h (x-x_0) $
Come vedi, il coefficiente angolare della secante è il rapporto incrementale. L'equazione della retta tangente, quando esiste, è il limite per $ hrarr 0 $ dell'equazione della retta secante (è così per definizione di retta tangente). Quindi se f è derivabile si ha l'equazione della retta tangente:
$ y=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0) $
Quindi la derivata della funzione in quel punto è il coefficiente angolare della retta tangente al grafico della funzione in quel punto.
"gabriella127":
Hai ragione, molti libri non lo spiegano, ma alcuni sì.
Potrei sapere quali?(amo quelli che non saltano concetti che possono essere intuitivi o comunemente accettati , da aspirante ricercatore debbo avere il beneficio del dubbio no?)
"gabriella127":
Si tratta di trovare l'equazione della retta tangente ad un punto, poniamo $ P_0 $ di coordinate $ (x_0,f(x_0)) $ , al grafico di una funzione $ f(x) $ .
Si determina in primo luogo l'equazione di una retta secante il grafico della funzione in due punti $ P_0=(x_0,f(x_0)) $ e $ P=(x_0+h,f(x_0+h)) $ . Imponendo che la retta passi per i punti dati si ottiene l'equazione della secante:
$ y=f(x_0)+(f(x_0+h)-f(x_0))/h (x-x_0) $
Come vedi, il coefficiente angolare della secante è il rapporto incrementale. L'equazione della retta tangente, quando esiste, è il limite per $ hrarr 0 $ dell'equazione della retta secante (è così per definizione di retta tangente). Quindi se f è derivabile si ha l'equazione della retta tangente:
$ y=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0) $
Quindi la derivata della funzione in quel punto è il coefficiente angolare della retta tangente al grafico della funzione in quel punto.
Molto chiara e semplice! Direi quasi banalmente intuitiva come dimostrazione! (Penso che se mi fossi sforzato forse ci sarei arrivato) . Grazie mille Gabriella.
Penso anche io che ci saresti arrivato. Io l'ho trovato su Marcellini-Sbordone 'Analisi 1', e c'è anche su Giusti 'Analisi 1'. Non so che libri di analisi voi usate, Marcellini Sbordone è molto buono, piuttosto basic per analisi 1, molto completo e più sofisticato per Analisi 2. Il Giusti Analisi 1 (e anche Analisi 2) è più sofisticato, veramente un libro da non perdere se uno aspira alla ricerca, io quando ho qualche dubbio concettuale penso 'Qui ci vuole il Giusti', e per lo più risolvo.
Grazie a te comunque per le tue osservazioni.
Grazie a te comunque per le tue osservazioni.
Io ho letto inizialmente sul De Marco ma poi mi sembrava non adatto ad uno ale prime armi come me, ora sto imparando a capire dov'è il problema e come posso affrontarlo, ilo Sbordone me ne hanno parlato (ma ho visto solo l'eserciziario) .Ho visto il Giusti in biblioteca ma mi sembrava di poco spessore teorico(forse ci ho preso male!) ora rivedo.
Per ora in libreria ho ordinato il Buttazzo che è buono. Al di là di tutto per fortuna devo studiare solo analisi entro settembre quindi ho parecchio tempo e darò un'occhiata anche al Giusti! :
Grazie mille ancora .
Per ora in libreria ho ordinato il Buttazzo che è buono. Al di là di tutto per fortuna devo studiare solo analisi entro settembre quindi ho parecchio tempo e darò un'occhiata anche al Giusti! :
Grazie mille ancora
.
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