Vincolo lagrangiano

[lemming78]

Ciao a tutti, avrei una domanda.... si parla di ottimizzazione vincolata.
Supponiamo di avere una funzione di un tipo

$ U = E[\sum_{t=0}^oo \beta^t((C_t^(1-\eta)-1)/(1-\eta))]$

soggetta a questo vincolo

$C_t+K_t=Z_t(K_(t-1))^\rho+(1-\delta)K_t-1$

Ora, tramite il moltiplicatore di lagrange includo nella prima equazione $....+\lambda(...)$, e risolvo.
Il problema che mi sta assillando è: come decido il segno di $\lambda$?
Cioè, io potrei riscrivere il vincolo come $C_t=K_t+......$ ma che differenza c'è tra portare tutto a destra o tutto a sinistra nell'equazione? Cioè quale è la regola per decidere in quale forma scrivere il vincolo? Spero di essermi spiegato bene. Nel paper che sto studiando l'autore calcola questo lagrangiano

$L= max_{(C_t,K_t)} E[\sum_{t=0}^oo \beta^t(((C_t^(1-\eta)-1)/(1-\eta))-\lambda_t(C_t+K_t-Z_t(K_(t-1))^\rho-(1-\delta)K_t-1))]$

Perchè il segno di lambda è $-$?

[gugo82]

Non c'è nessuna regola; puoi fare come più ti piace.

[lemming78]

Così semplice?
Perdonami, mi manca l'intuizione qui

un esempio semplice semplice


$max_(x,y)(x^2+y^2-k)$

s.t.

$x=y$

$L=x^2+y^2-k+\lambda(x-y)$

$(delL)/(delx) => x=(-\lambda/2)$

$(delL)/(dely) => y=(\lambda/2)$

se invece

$L=x^2+y^2-k+\lambda(y-x)$

$(delL)/(delx) => x=(\lambda/2)$
$(delL)/(dely) => y=(-\lambda/2)$


Tra i due casi quindi ci sono delle differenze, no?



Io sto cercando di max per x e per y l'area del cerchio sotto il vincolo che x sia uguale a y.
Supponiamo che secondo quei risultati io scelga $\lambda=2$.
Nel primo caso ottengo
$x=-1$
$y=1$
nel secondo
$x=1$
$y=-1$

Cioè ottengo due punti appartenenti ai quadranti 2 e 4

Il problema è che $x!=y$ quindi cos'è che ho trovato? Mi sarei aspettato di trovare come coordinate (1,1) e (-1,-1)

[gugo82]

Non stai confrontando i risultati, ma solo delle equazioni parziali.

I sistemi:
\[
\begin{cases}
2x+\lambda=0\\
2y-\lambda=0\\
x=y
\end{cases} \qquad \text{e} \qquad \begin{cases}
2x-\mu=0\\
2y+\mu=0\\
x=y
\end{cases}
\]
(corrispondenti a \(L:=x^2+y^2-k+\lambda(x-y)\) e \(M:=x^2+y^2-k-\mu(x-y)\)) hanno esattamente le stesse soluzioni.

[lemming78]

grazie mille, sei stato utilissimo!