Videolezione tagliata (calcolo limite)

[olanda2000]

Salve questa lezione di analisi 1 è tagliata nel finale (è uno studio di funzione ), sapete come si risolve l'ultimo limite (calcolo della q dell'asintoto obliquo) ?
https://www.youtube.com/watch?v=7D97uhu ... C&index=41

L'esercizio inizia al minuto 1:04:12
Grazie

[pilloeffe]

Ciao olanda2000,

Intanto riscriviamo per bene la funzione, che da un filmato è sempre un po' problematico...

$F(x) := int_{2}^x (1 - frac{sin^2 (t)}{t^2}) dt := int_{2}^x f(t) dt$

per $x \in (0, +\infty) $
La funzione integranda $f(x) = 1 - frac{sin^2 (x)}{x^2} $ è una funzione continua per $x \in (0, +\infty) $ e dal teorema fondamentale del calcolo integrale sappiamo che la funzione $F(x) $ è derivabile e si ha:

$F'(x) = 1 - frac{sin^2 (x)}{x^2} $

Studiamo il segno della funzione $F(x) $. Si ha:

$ 1 - frac{sin^2 (x)}{x^2} \ge 0$

infatti $ |sin(x)| \le |x| \quad \AA x \in \RR iff sin^2(x) \le x^2 iff sin^2(x)/x^2 \le 1 iff 1 - sin^2(x)/x^2 \ge 0 $ come volevasi.
Dato che $f(x) \ge 0 $, allora:
1) per $ x > 2 \implies F(x) > 0 $;
2) per $ x < 2 $, cioè per $ 0 < x < 2 $ visto che $ x \in (0, +\infty) $, $ F(x) = - int_{x}^2 f(t) dt < 0 $;
3) per $ x = 2 \implies F(2) = int_{2}^2 f(t) dt = 0 $.

Vediamo ora i limiti ai punti del dominio $D := (0, +\infty) $. Si ha:

$ lim_{x \to +infty} F(x) = lim_{x \to +infty} int_{2}^{x} (1 - frac{sin^2 (t)}{t^2}) dt = int_{2}^{+\infty} (1 - frac{sin^2 (t)}{t^2}) dt $ [tex]\sim[/tex] $ int_{2}^{+\infty} 1 dt = +\infty $

$ lim_{x \to 0^+} F(x) = lim_{x \to 0^+} int_{2}^{x} (1 - frac{sin^2 (t)}{t^2}) dt = - int_{0}^{2} (1 - frac{sin^2 (t)}{t^2}) dt < 0 $

Procediamo con lo studio del segno della derivata prima. Si ha:

$F'(x) = f(x) = 1 - frac{sin^2 (x)}{x^2} \ge 0 \qquad \AA x \in (0, +\infty) \implies F(x) $ è crescente $\AA x in (0, +\infty) $
Poiché $ lim_{x \to +infty} F(x) = +\infty $, vediamo se c'è un asintoto obliquo, che avrà equazione $ y = mx + q $:

$m = lim_{x \to +infty} frac{F(x)}{x} \overset{H}{=} lim_{x \to +infty} F'(x) = lim_{x \to +infty} f(x) = 1 $

$ q = lim_{x \to +infty} [F(x) - mx] = lim_{x \to +infty} [F(x) - x] = lim_{x \to +infty} [int_{2}^x (1 - frac{sin^2 (t)}{t^2}) dt - x] = $
$ = lim_{x \to +infty} [int_{2}^x (1 - frac{sin^2 (t)}{t^2}) dt - int_{2}^x dt - 2] = lim_{x \to +infty} [int_{2}^x (1 - frac{sin^2 (t)}{t^2} - 1) dt] - 2 = $
$ = - lim_{x \to +infty} [int_{2}^x frac{sin^2 (t)}{t^2} dt] - 2 = - int_{2}^{+\infty} frac{sin^2 (t)}{t^2} dt - 2 = $
$ = - [\Si(2x) + frac{cos(2x)}{2x} - frac{1}{2x}]_{2}^{+\infty} - 2 = - [pi/2 + 0 - 0 - Si(4) - frac{cos(4)}{4} + 1/4] - 2 = $
$ = - frac{1}{4}[2 pi - 4 Si(4) - cos(4) + 1] - 2 ~~ - 2,226004 < - 2 $

ove $ Si(x) := int _{0}^x frac{sin(t)}{t} dt $. Perciò in definitiva l'asintoto obliquo ha l'equazione seguente:

$y = x - pi/2 + Si(4) + cos(4)/4 - 9/4 $

[olanda2000]

Perfetto,grazie!
PS: ho capito i passaggi che hai scritto tranne il penultimo dove compare l'integrale Si(2x) :cioè come calcoli l'integrale improprio per far comparire Si(2x) e cos(2x)?

Grazie

[pilloeffe]

"olanda2000":Perfetto,grazie!

Prego!

"olanda2000":PS: [...] : cioè come calcoli l'integrale improprio per far comparire Si(2x) e cos(2x)?

Diciamo che deriva da un'integrazione per parti, ma a livello di Analisi I non credo che sia opportuno approfondire troppo questo aspetto riguardante la funzione seno integrale $Si(x) $: infatti non l'ha fatto neanche il Prof. Camilli...
L'ho fatto solo per farti vedere che $- 9/4 < q < - 2 $
In modo simile si sarebbe anche potuto risolvere il limite seguente:

$ lim_{x \to 0^+} F(x) = lim_{x \to 0^+} int_{2}^{x} (1 - frac{sin^2 (t)}{t^2}) dt = - int_{0}^{2} (1 - frac{sin^2 (t)}{t^2}) dt = $
$ = - int_{0}^{2} dt + int_{0}^{2} frac{sin^2 (t)}{t^2} dt = - 2 + int_{0}^{2} frac{sin^2 (t)}{t^2} dt $

Ma in questo caso, come ha fatto anche il Prof. Camilli, ho preferito semplicemente indicare che si tratta di una quantità negativa, per la precisione compresa fra $ - 1 $ e $ 0 $.