Viceversa del teorema di Fermat.
ciao a tutti, ho bisogno del vostro aiuto:
"vale il il viceversa del teorema di Fermat? se non vale fornisci un contro esempio."
io so già la dimostrazione del teorema di Fermat e il fatto che non vale il viceversa, ma non ho capito, col contro-esempio che ha portato il professore, il perchè!
spero abbiate capito. grazie e arrivederci.
"vale il il viceversa del teorema di Fermat? se non vale fornisci un contro esempio."
io so già la dimostrazione del teorema di Fermat e il fatto che non vale il viceversa, ma non ho capito, col contro-esempio che ha portato il professore, il perchè!
spero abbiate capito. grazie e arrivederci.
Risposte
Immagino che tu intenda il Piccolo Teorema di Fermat.
Il viceversa più o meno recita così:
Il viceversa più o meno recita così:
"Viceversa del teorema di Fermat":il tuo professore ha affermato che questo viceversa non è vero e ha fornito un controesempio. Puoi illustrarlo?
Sia $p$ un numero.
Se $AA a in ZZ$ si ha $a^p-=a_(mod p)$ allora $p$ è primo.
Se non sbaglio, i numeri che soddisfano quella congruenza ma che non sono primi vengono detti Numeri di Carmichael. Il primo numero di Carmichael è $561$. Forse è questo il controesempio che ha portato il tuo professore?
Se invece ti stai riferendo al teorema di Fermat sui punti stazionari, l'inverso reciterebbe cosi:
Se una funzione è derivabile in un punto $c$ e $f'(c)=0$, allora $c$ è un estremo relativo. In questo caso, per vedere che ciò non vale, ti basta pensare ad un punto a flesso orizzontale (un classico esempio è $y=x^3$ in $c=0$).
Se una funzione è derivabile in un punto $c$ e $f'(c)=0$, allora $c$ è un estremo relativo. In questo caso, per vedere che ciò non vale, ti basta pensare ad un punto a flesso orizzontale (un classico esempio è $y=x^3$ in $c=0$).
Intendo il teorema sui punti stazionari. Il viceversa dice: se $ f'(x_0)=0 $ non è detto che $ x_0 $ sia max o min relativo.
l'esempio è:
$ y=(x-1)^3+2 $
$ y'=3(x-1)^2 $
Tale derivata si annulla in $ x=1$ , $ f(1)=2 $ . $ f(x)>2 $ per $ x>1 $ e $ f(x)<2 $ per $ x<1 $ -> $ x_0 $ non è ne max ne min relativo. ciò significa che la tangente in $ x_0=1 $, pur essendo parallela all'asse x, attraversa la curva.
l'esempio è:
$ y=(x-1)^3+2 $
$ y'=3(x-1)^2 $
Tale derivata si annulla in $ x=1$ , $ f(1)=2 $ . $ f(x)>2 $ per $ x>1 $ e $ f(x)<2 $ per $ x<1 $ -> $ x_0 $ non è ne max ne min relativo. ciò significa che la tangente in $ x_0=1 $, pur essendo parallela all'asse x, attraversa la curva.
Cos'è che non ti è chiaro?
E' esattamente l'esempio che ti ha postato Albert Wesker 27: il grafico è quello di una cubica, soltanto che nel tuo caso è traslato e non passa per l'origine. Ma il suo punto stazionario è sempre di flesso.
E' esattamente l'esempio che ti ha postato Albert Wesker 27: il grafico è quello di una cubica, soltanto che nel tuo caso è traslato e non passa per l'origine. Ma il suo punto stazionario è sempre di flesso.
non mi è chiaro il contro-esempio... cioè non so se il mio ragionamento è corretto: dice che non è ne max ne min per la definizione di max e min?
Certo! Per avere un punto di minimo relativo dovresti avere $f(1)<=f(x) \forall x \in I$, dove $I$ è un intorno di $1$. Analogamente per il punto di massimo relativo dovresti avere $f(1)>=f(x)$ in un intorno. Ma la prima disuguaglianza vale solo in un intorno sinistro, mentre la seconda vale solo in un intorno destro. Quindi, ciò esclude entrambe le possibilità.
Ma si, dai. Ti devi visualizzare la situazione, non ti fissare troppo con le definizioni. Prima l'intuizione, poi il formalismo. Disegna il grafico della funzione che ti è stata suggerita:
[asvg]axes(); plot("(x-1)^3+2");[/asvg]
come vedi è esattamente il grafico di $x \mapsto x^3$, solo traslato un pochino. Dov'è il punto stazionario? E' di massimo, o di minimo? Non credo.
[asvg]axes(); plot("(x-1)^3+2");[/asvg]
come vedi è esattamente il grafico di $x \mapsto x^3$, solo traslato un pochino. Dov'è il punto stazionario? E' di massimo, o di minimo? Non credo.
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