Vi pare giusta questa diseguaglianza?
$ln(\frac{ln(t+1)}{lnt})\leq\frac{1}{t}$, dove t è un intero maggiore di 1
Risposte
Sì Valerio, mi sembra giusta... Ho fatto il grafico
delle due funzioni con Derive, e ho visto che a partire
da 2 in poi (quindi non solo per tutti gli interi maggiori di 2,
ma anche per tutti i reali maggiori di 2) il grafico
della prima si trova sotto il grafico della seconda.
delle due funzioni con Derive, e ho visto che a partire
da 2 in poi (quindi non solo per tutti gli interi maggiori di 2,
ma anche per tutti i reali maggiori di 2) il grafico
della prima si trova sotto il grafico della seconda.
"fireball":
Sì Valerio, mi sembra giusta... Ho fatto il grafico [...]
E' uno scherzo, vero?! Loool...
mica ha detto "è giusta"!! su david... lascia passare qualche cosa
"ubermensch":
$ln(\frac{ln(t+1)}{lnt})\leq\frac{1}{t}$, dove t è un intero maggiore di 1
La disequazione può essere riscritta nella forma $\ln(t) + \ln(1 + 1/t) \le \ln(t) e^{1/t}$. Senonché, per $t > 1$: $LHS = \ln(t) + \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{nt^n} $, mentre $RHS = \ln(t) \cdot \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n! \cdot t^n}$. Si è dunque riportati a stabilire se $\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{nt^n} \le \ln(t) \cdot \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n! \cdot t^n}$, per $t > 1$. Questa disuguaglianza è evidente per $t \ge e$, sicché ogni discussione si può limitare nel seguito all'intervallo $1 < t < e$. D'altro canto, la richiesta del problema originale riguardava i soli interi $\ge 2$. A fronte di una verifica puntuale del fatto che $\ln(3) \le e^{1/2} \cdot \ln (2)$, tanto è perciò sufficiente a concludere.
EDIT: corretti giusto un paio d'errori di battitura.
"ubermensch":
mica ha detto "è giusta"!! su david... lascia passare qualche cosa
Io sono un formalista - matematicamente parlando. Perciò non posso lasciar passare nulla!
ehm chi sono i signori LHS e RHS?
"ubermensch":
ehm chi sono i signori LHS e RHS?
Left Hand Side e Right Hand Side - secondo il costume comune, d'altro canto...
per gli ignoranti "primo membro" e "secondo membro"? supongo..anche a giudicar dall'espressioni
david ci sono alcune cose che non capisco:
1) quando definisci LHS mi sembra che l'esponente sia n+1 e non n
2) quando dici: "ogni discussione si limita..." mi pare ci sia a secondo membro un ln(t) di troppo
3_IMPORTANTE) non vedo l'evidenza di quella disuguaglianza
grazie,
ciao, ubermensch
1) quando definisci LHS mi sembra che l'esponente sia n+1 e non n
2) quando dici: "ogni discussione si limita..." mi pare ci sia a secondo membro un ln(t) di troppo
3_IMPORTANTE) non vedo l'evidenza di quella disuguaglianza
grazie,
ciao, ubermensch
Ma non ho capito che c'è di male a fare i grafici delle due funzioni (considerando t reale) con Derive...
Uhm forse ho capito... DavidHilbert credeva che io avessi preteso di dimostrare la disuguaglianza usando
i grafici di Derive, ma non è così!!! Ho postato solo per dirvi che effettivamente la disuguaglianza sembra essere vera...
La mia non voleva assolutamente essere (e ovviamente non è) una dimostrazione!!!
Uhm forse ho capito... DavidHilbert credeva che io avessi preteso di dimostrare la disuguaglianza usando
i grafici di Derive, ma non è così!!! Ho postato solo per dirvi che effettivamente la disuguaglianza sembra essere vera...
La mia non voleva assolutamente essere (e ovviamente non è) una dimostrazione!!!
"DavidHilbert":
[...] Questa disuguaglianza è evidente per $t \ge 1$, sicché ogni discussione si può limitare nel seguito all'intervallo $1 < t < e$. [...]
Intendevo scrivere "è evidente per $t \ge e$", ché altrimenti la limitazione a seguire avrebbe avuto poco senso... Provvedo all'errata corrige!
"ubermensch":
1) quando definisci LHS mi sembra che l'esponente sia n+1 e non n
Corretto!
"ubermensch":
2) quando dici: "ogni discussione si limita..." mi pare ci sia a secondo membro un ln(t) di troppo
Se ti fai due conti, vedrai che il logaritmo se ne va. Nota a proporco che la serie esponenziale, quando viene buttata dentro la disuguaglianza, perde un termine... Ed è lì che mi fo' fuori il logaritmo!
"ubermensch":
3_IMPORTANTE) non vedo l'evidenza di quella disuguaglianza
Questo è grave!
"DavidHilbert":
[...] Si è dunque riportati a stabilire se $\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{nt^n} \le \ln(t) \cdot \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n! \cdot t^n}$, per $t > 1$. Questa disuguaglianza è evidente per $t \ge e$ [...]
Se infatti $t \ge e$, allora $\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{n\cdot t^n} < \frac{1}{t} \le \frac{\ln(t)}{t} < \ln(t) \cdot \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n! \cdot t^n}$. Lo dicevo io ch'era evidente...
"fireball":
Uhm forse ho capito... DavidHilbert credeva che io avessi preteso di dimostrare la disuguaglianza usando
i grafici di Derive, ma non è così!!! Ho postato solo per dirvi che effettivamente la disuguaglianza sembra essere vera...
ok david... abbastanza evidente diciamo...
ciao e grazie ancora
ciao e grazie ancora
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