Vettori e piani

[Sirvio]

mi potete spiegare come si trovano i vettori di modulo 3 parelleli a due piani a :2x-y+z-3 e b :-2x-y-2

Aggiunto 1 giorni più tardi:

grazie mille della spiegazione !!

[ciampax]

Affinche un vettore sia parallelo a due piani deve essere ortogonale ai loro vettori normali contemporaneamente. I vettori normali dei due piani sono, rispettivamente

[math]\nu_a(2 , -1 , 1),\qquad \nu_b(-2 , -1 , 0)[/math]

Se allora

[math]v(a,b,c)[/math]

è un vettore generico, affinché esso sia parallelo ai due piani ed abbia modulo tre devono valere le tre condizioni, contemporaneamente,

[math]=0,\ =0,\ |v|=3[/math]

(con ho indicato il prodotto scalare). Pertanto

[math]2a-b+c=0,\ \ -2a-b=0,\ \ a^2+b^2+c^2=9[/math]

Dalla seconda si trova

[math]b=-2a[/math]

e dalla prima

[math]c=-4a[/math]

, pertanto deve essere

[math]21a^2=9\ \Rightarrow\ a=\pm\sqrt{\frac{3}{7}}[/math]

. I vettori sono pertanto

[math]v=\pm\sqrt{\frac{3}{7}}(1 , -2 , -4)[/math]