Vettori - Definire le incognite

[Lotek]

Ciao a tutti!

Non riesco a risolvere un esercizio sui vettori, in cui devo determinare le incognite.

Ho un vettore

[math]u = (b,a,6)[/math]

. Devo stabilire i valori di

[math]a[/math]

e

[math]b[/math]

in modo tale che il vettore

[math]u[/math]

sia parallelo al piano contenente il triangolo di vertici

[math]A = (a,0,0)[/math]

,

[math]B = (0,b,0)[/math]

,

[math]C = (0,0,3)[/math]

e area della superficie pari a

[math]|a|\sqrt{5}[/math]

.

1. Innanzitutto, ho ricavato i vettori corrispondenti a due lati del triangolo, cioè

[math]AB = B - A = (-a,b,0)[/math]

e

[math]AC = C - A = (-a,0,3)[/math]

. Ho chiamato

[math]AB = v[/math]

e

[math]AC = w[/math]

.

2. La superficie del triangolo la posso trovare calcolando il prodotto vettoriale

[math]q = v \times w = (3b,3a,ab)[/math]

e dimezzando il risultato della sua norma.

3. Il prodotto vettoriale è un vettore ortogonale al piano su cui giacciono i vettori

[math]v[/math]

e

[math]w[/math]

Quindi, se devo imporre al vettore

[math]u[/math]

la condizione di parallelismo al piano su cui risiede il triangolo, posso imporre il prodotto scalare

[math]\left \langle u, q \right \rangle = 0[/math]

.

Dopodiché mi blocco, perché i risultati ottenuti dai passaggi intermedi sono abbastanza complessi. Sapreste come continuare? Grazie in anticipo!

Aggiunto 2 ore più tardi:

Grazie per avermi risposto! Ho modificato il segno errato nel prodotto vettoriale.

La formula proposta con i vertici del triangolo al posto delle componenti dei vettori ha a che fare col significato geometrico del determinante, giusto?

Le equazioni di secondo grado

[math]3a^2 \pm 4\sqrt{5}a + 2\sqrt{5}[/math]

hanno delle soluzioni leggermente strane se confrontate con i risultati attesi. Infatti dovrebbe essere

[math]a = -b = \pm \sqrt{2}[/math]

...

Aggiunto 10 minuti più tardi:

Grazie!

[ciampax]

In realtà per calcolare l'area puoi anche usare questa formula

[math]A=\frac{1}{2}\left|\begin{array}{ccc}
a_1 & a_2 & a_3\\ b_1 & b_2 & b_3\\ c_1 & c_2 & c_3
\end{array}\right|[/math]

dove le componenti scritte sono quelle delle coordinate dei punti noti: per cui

[math]A=\frac{1}{2}\left|\begin{array}{ccc}
a & 0 & 0\\ 0 & b & 0\\ 0 & 0 & 3
\end{array}\right|=\frac{3}{2} |ab|[/math]

e quindi deve essere

[math]\frac{3}{2}|ab|=|a|\sqrt{5}[/math]

che implica, dovendo essere

[math]a\neq 0[/math]

altrimenti l'area è nulla e quindi il triangolo deve risultare una "linea" e questo è possibile solo se i punti sono allineati oppure se due coincidono(e in questo caso ciò accade solo se?),

[math]3|b|=2\sqrt{5}[/math]

.

L'altra condizione è giusta: solo che

[math]v\times w=(3b,3a,ab)[/math]

(ti invito a rifare i calcoli) da cui

[math]3b^2+3a^2+6ab=0[/math]

da cui sostituendo il valore trovato per b

[math]\frac{20}{3}+3a^2\pm4\sqrt{5} a=0[/math]

che è una coppia di equazioni di secondo grado in a. Risolvi e sei a posto.

Aggiunto 15 ore 56 minuti più tardi:

Scusa scusa scusa! Ho commesso io un errore, guardando la cosa in tre dimensioni: l'area è come dici tu: Per cui hai

[math]A=\frac{1}{2}|AC\times AB|=\frac{1}{2}|(3b,3a,ab)|=\frac{1}{2}\sqrt{9b^2+9a^2+a^2 b^2}[/math]

pertanto puoi scrivere

[math]\sqrt{9b^2+9a^2+a^2 b^2}=2|a|\sqrt{5}\ \Rightarrow\ 9b^2+9a^2+a^2 b^2=20a^2[/math]

e quindi la prima condizione

[math]9b^2-11a^2+a^2 b^2=0[/math]

La seconda condizione invece è

[math]3b^2+3a^2+6ab=0\ \Rightarrow\ (a+b)^2=0[/math]

[math]a=-b\ \Rightarrow\ 9b^2-11b^2+b^4=0\ \Rightarrow\ b^2(b^2-2)=0[/math]

e quindi l'unica soluzione possibile

[math]b=\pm\sqrt{2}[/math]