Vettore tangente ad una superficie
Salve, sono un nuovo utente.
Ho cercato nel forum ma non ho trovato quello che cercavo.
Mi viene chiesto di ricavare il vettore normale alla superficie x^2+y^2+z^2-2x-4y-6z+13=0 nel punto P(1,1,3).
Il mio problema è: facendo il gradiente calcolato nel punto P, trovo il vettore normale o tangente ????
Da quanto ho capito leggendo qua e là con il gradiente si trova il vettore normale, ma allora mi sorge un dubbio.
Il gradiente è il vettore costituito dalla somma delle derivate parziali (che sono utilizzate per definire l'equazione del piano tangente in un punto). Perchè allora il gradiente indica il vettore normale ???
Inoltre nel caso di curve parametriche: r(t)=[x1(t),.....,xk(t)] il vettore derivato r'(t)=[x'1(t),....,x'k(t)] fornisce il vettore tangente.Non è la stessa cosa???
Vi ringrazio per le risposte che (spero) riceverò
Ho cercato nel forum ma non ho trovato quello che cercavo.
Mi viene chiesto di ricavare il vettore normale alla superficie x^2+y^2+z^2-2x-4y-6z+13=0 nel punto P(1,1,3).
Il mio problema è: facendo il gradiente calcolato nel punto P, trovo il vettore normale o tangente ????
Da quanto ho capito leggendo qua e là con il gradiente si trova il vettore normale, ma allora mi sorge un dubbio.
Il gradiente è il vettore costituito dalla somma delle derivate parziali (che sono utilizzate per definire l'equazione del piano tangente in un punto). Perchè allora il gradiente indica il vettore normale ???
Inoltre nel caso di curve parametriche: r(t)=[x1(t),.....,xk(t)] il vettore derivato r'(t)=[x'1(t),....,x'k(t)] fornisce il vettore tangente.Non è la stessa cosa???
Vi ringrazio per le risposte che (spero) riceverò
Risposte
Nel titolo ho sbagliato a scrivere. Mi viene chiesto il vettore ORTOGONALE
scrivi usando il latex per favore ._.
cioè metti i simboli del dollaro all'inizio e alla fine delle formule/equazioni che scrivi...
il gradiente di una superficie è NORMALE alla superficie.
i piani possono essere costruiti come spazi ortogonali ad un vettore $(a,b,c)$. considera infatti un generico vettore $(x,y,z)$. richiedere che quest'ultimo sia ortogonale a $(a,b,c)$ equivale a chiedere che il loro prodotto scalare sia nullo, cioè: $(x,y,z) \cdot (a,b,c)^T = 0$ che diventa proprio $ax+by+cz = 0$ che è l'equazione di un generico piano passante per l'origine e ortogonale appunto al vettore $(a,b,c)$.
questa costruzione rimane la stessa anche se vuoi che il piano non passi per l'origine ma per un punto $P$, con l'unico accorgimento che al posto del vettore $(x,y,z)$ devi considerare $(x-x_0,y-y_0,z-z_0)$ con $x_0, y_0, z_0$ le coordinate del punto $P$.
cioè metti i simboli del dollaro all'inizio e alla fine delle formule/equazioni che scrivi...
il gradiente di una superficie è NORMALE alla superficie.
i piani possono essere costruiti come spazi ortogonali ad un vettore $(a,b,c)$. considera infatti un generico vettore $(x,y,z)$. richiedere che quest'ultimo sia ortogonale a $(a,b,c)$ equivale a chiedere che il loro prodotto scalare sia nullo, cioè: $(x,y,z) \cdot (a,b,c)^T = 0$ che diventa proprio $ax+by+cz = 0$ che è l'equazione di un generico piano passante per l'origine e ortogonale appunto al vettore $(a,b,c)$.
questa costruzione rimane la stessa anche se vuoi che il piano non passi per l'origine ma per un punto $P$, con l'unico accorgimento che al posto del vettore $(x,y,z)$ devi considerare $(x-x_0,y-y_0,z-z_0)$ con $x_0, y_0, z_0$ le coordinate del punto $P$.
Conosci l'equazione del piano tangente ad una superficie? Dovresti sapere che se $z=f(x,y)$ è la tua superficie e $P(x_0,y_0,f(x_0,y_0))$ un suo punto, allora il piano tangente alla superficie passante per $P$ ha equazione
$z-f(x_0,y_0)=f_x(x_0,y_0)\cdot(x-x_0)+f_y(x_0,y_0)\cdot (y-y_0)$
La dimostrazione di questo fatto è abbastanza semplice e si usa la derivabilità della funzione, un po' come si dimostra per funzioni di una variabile la formula della retta tangente ad una curva in un punto.
Detto questo, osserva che l'equazione precedente si può porre, in forma vettoriale, come
$(-f_x,-f_y,1)\times(x-x_0,y-y_0,z-f(x_0,y_0))=0$ ($\times$ prodotto scalare)
pertanto, essendo il vettore a destra un vettore sul piano tangente, ne segue che il vettore $(f_x,f_y,-1)$ è ortogonale.
Se invece consideri una curva parametrica di equazione $r(t)$ è vero che $r'(t)$ è il vettore tangente alla curva, ma qui si para di superfici: devi considerare allora una parametrizzazione $r(u,v)$ e scopri i seguenti fatti:
i due vettori $r_u,\ r_v$ generano il piano tangente
il vettore $r_u\ \wedge\ r_v$ è ortogonale al piano tangente. ($\wedge$ prodotto vettoriale)
Se la tua parametrizzazione è la seguente: $r(x,y)=(x,y,f(x,y))$ allora $r_x=(1,0,f_x),\ r_y=(0,1,f_y)$ e si ha $r_x\ \wedge\ r_y=(-f_x,-f_y,1)$ che coincide con il vettore precedente.
$z-f(x_0,y_0)=f_x(x_0,y_0)\cdot(x-x_0)+f_y(x_0,y_0)\cdot (y-y_0)$
La dimostrazione di questo fatto è abbastanza semplice e si usa la derivabilità della funzione, un po' come si dimostra per funzioni di una variabile la formula della retta tangente ad una curva in un punto.
Detto questo, osserva che l'equazione precedente si può porre, in forma vettoriale, come
$(-f_x,-f_y,1)\times(x-x_0,y-y_0,z-f(x_0,y_0))=0$ ($\times$ prodotto scalare)
pertanto, essendo il vettore a destra un vettore sul piano tangente, ne segue che il vettore $(f_x,f_y,-1)$ è ortogonale.
Se invece consideri una curva parametrica di equazione $r(t)$ è vero che $r'(t)$ è il vettore tangente alla curva, ma qui si para di superfici: devi considerare allora una parametrizzazione $r(u,v)$ e scopri i seguenti fatti:
i due vettori $r_u,\ r_v$ generano il piano tangente
il vettore $r_u\ \wedge\ r_v$ è ortogonale al piano tangente. ($\wedge$ prodotto vettoriale)
Se la tua parametrizzazione è la seguente: $r(x,y)=(x,y,f(x,y))$ allora $r_x=(1,0,f_x),\ r_y=(0,1,f_y)$ e si ha $r_x\ \wedge\ r_y=(-f_x,-f_y,1)$ che coincide con il vettore precedente.
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