Vettore tangente a S
Ciao a tutti
Devo risolvere questo esercizio:
Siano w$:Rrarr R^3 $ data da w$ (t)=(3t, 5t^2,3t^3) $ e $S$ l'immagine di w. Allora il vettore v$=(3,0,-1)$ è:
$a)$ normale a S in w(2)
$b)$ tangente a S in w(1)
$c)$ normale a S in w(2)
$d)$ tangente a S in w(1)
Sostituendo ottengo
$w(1)=( 3, 5, 3 ) $ e $w(2)=( 6, 20, 24 )$
So che due vettori sono normali se $ u*v=0 $ , ma resto spiazzato da questa S (sottoinsieme di $R^3$) che è l'immagine di una funzione
Come faccio a definire $ {s_k} $ del limite $ lim_(x -> oo)(s_k-s_0) /|(s_k-s_0)| = v/|v| $ ? O sbaglio proprio direzione?
Devo risolvere questo esercizio:
Siano w$:Rrarr R^3 $ data da w$ (t)=(3t, 5t^2,3t^3) $ e $S$ l'immagine di w. Allora il vettore v$=(3,0,-1)$ è:
$a)$ normale a S in w(2)
$b)$ tangente a S in w(1)
$c)$ normale a S in w(2)
$d)$ tangente a S in w(1)
Sostituendo ottengo
$w(1)=( 3, 5, 3 ) $ e $w(2)=( 6, 20, 24 )$
So che due vettori sono normali se $ u*v=0 $ , ma resto spiazzato da questa S (sottoinsieme di $R^3$) che è l'immagine di una funzione
Come faccio a definire $ {s_k} $ del limite $ lim_(x -> oo)(s_k-s_0) /|(s_k-s_0)| = v/|v| $ ? O sbaglio proprio direzione?
Risposte
Ma tu lo sai come si calcolano vettore tangente e vettore normale ad una curva parametrica?
Derivata prima di w, trovo w' la cui immagine è tangente a S in w(t) per ogni t
Se esiste t tale che w'(t) = v allora v è tangente a S, altrimenti può essere normale, effettivamente sostituendo t=1 a w'(t) ottengo un w'(1) tale che v $*$ w'(t) = 0
E la risposta è giusta -> a)
Procedimento giusto?
Penso che ci sto arrivando a saperlo fare
Se esiste t tale che w'(t) = v allora v è tangente a S, altrimenti può essere normale, effettivamente sostituendo t=1 a w'(t) ottengo un w'(1) tale che v $*$ w'(t) = 0
E la risposta è giusta -> a)
Procedimento giusto?
"ciampax":
Ma tu lo sai come si calcolano vettore tangente e vettore normale ad una curva parametrica?
Penso che ci sto arrivando a saperlo fare
Che il vettore tangente sia $T(t)=w'(t)$ sono d'accordo. Non sono d'accordo su ciò che dici riguardo al vettore normale: una curva nello spazio può avere infiniti vettori ortogonali al vettore tangente (prendi una circonferenza, fissa un vettore tangente, e dimmi se non hai un intero piano ortogonale ad esso, su cui giacciono infiniti vettori). Per determinare quello normale devi calcolare la derivata seconda della parametrizzazione della curva, ed usare la relazione seguente $N=w''(t)- e_1(t)$ ($<,>$ è il prodotto scalare e $e_1(t)={T(t)}/{|T(t)|}$ il versore tangente) che fornisce l'espressione corretta del vettore normale (il versore normale si definisce come $e_2(t)={N(t)}/{|N(t)|}$) quando la curva è rappresentata secondo un parametro qualsiasi.
Ovviamente, qui puoi semplificarti la vita vedendo prima se, sostituendo i valori $t=1,\ t=2$ ottieni effettivamente il vettore tangente (e così non è, a causa della forma della seconda coordinata di $v$) e a quel punto verificare se $v$ sia ortogonale a $T(1)$ o a $T(2)$.
Ovviamente, qui puoi semplificarti la vita vedendo prima se, sostituendo i valori $t=1,\ t=2$ ottieni effettivamente il vettore tangente (e così non è, a causa della forma della seconda coordinata di $v$) e a quel punto verificare se $v$ sia ortogonale a $T(1)$ o a $T(2)$.
Grazie della delucidazione
Prego.
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