Vettore posizione/spostamento su superficie curva
salve a tutti,
ecco il problema che sto cercando di risolvere pur avendo una scarsa conoscenza degli argomenti in questione.
Una corpo si muove su di una superficie curva. Il suo vettore posizione e`
r(t)= k cos[ω t]\hat{x}+k sin[ω t]\hat{y}+(hω/(2π))t\hat{z}
trova:
- il vettore di spostamento s(t) [Fatto!]
- il vettore s(T), quando T=2π/ω [Fatto!]
- trova una possibile espressione per la lunghezza del percoso s(t), e per la distanza percorsa s(T) [cosa?!]
- qual e` la forma del percorso compiuto dal corpo? [..sob]
allora,
- Δr=(h ω)/(2π) + k ω cos[t ω]-k ω sin[t ω]
- s(T)=(h ω)/(2π)+k ω Cos[(2π/ω) ω]-k ω Sin[(2π/ω) ω]=k ω+(h ω)/(2π)
..e qui iniziano i problemi.
se ho capito bene s(t) e` uno scalare, ed e` =∫|ds|=∫|v|dt
quindi praticamente mi viene chiesto quanto e` distante dall'origine il corpo, dopo tempo Δt.
pero` mi perdo..
devo calcolare ∫|[(h ω)/(2 Pi) + k ω Cos[t ω] - k ω Sin[t ω]| dt ? e se si`, che significato ha cio` che ottengo?
per s(T), cosa ESATTAMENTE dovrei intergrare? e rispetto a che cosa?
ecco il problema che sto cercando di risolvere pur avendo una scarsa conoscenza degli argomenti in questione.
Una corpo si muove su di una superficie curva. Il suo vettore posizione e`
r(t)= k cos[ω t]\hat{x}+k sin[ω t]\hat{y}+(hω/(2π))t\hat{z}
trova:
- il vettore di spostamento s(t) [Fatto!]
- il vettore s(T), quando T=2π/ω [Fatto!]
- trova una possibile espressione per la lunghezza del percoso s(t), e per la distanza percorsa s(T) [cosa?!]
- qual e` la forma del percorso compiuto dal corpo? [..sob]
allora,
- Δr=(h ω)/(2π) + k ω cos[t ω]-k ω sin[t ω]
- s(T)=(h ω)/(2π)+k ω Cos[(2π/ω) ω]-k ω Sin[(2π/ω) ω]=k ω+(h ω)/(2π)
..e qui iniziano i problemi.
se ho capito bene s(t) e` uno scalare, ed e` =∫|ds|=∫|v|dt
quindi praticamente mi viene chiesto quanto e` distante dall'origine il corpo, dopo tempo Δt.
pero` mi perdo..
devo calcolare ∫|[(h ω)/(2 Pi) + k ω Cos[t ω] - k ω Sin[t ω]| dt ? e se si`, che significato ha cio` che ottengo?
per s(T), cosa ESATTAMENTE dovrei intergrare? e rispetto a che cosa?
Risposte
Scriviamolo un po' meglio. Hai:
Partiamo dal punto 4). Puoi notare che, per quanto riguarda le componenti del vettore su $hatx$ e $haty$, si tratta di una circonferenza. Infatti potrei parametrizzare una circonferenza di centro l'origine e raggio $k$ in questo modo:
Poichè però anche la componente su $hatz$ varia in funzione del parametro $t$, si tratta di un'elica cilindrica. D'altra parte, potrei porre $z=h/(2\pi)arctan(y/x)$, infatti:
che risulta coerente con il vettore posizione. In definitiva la curva sulla quale ci stiamo muovendo è un'elica di equazione cartesiana:
Per la lunghezza, è sufficiente sfruttare l'integrale di linea: $\int_{0}^t||\bbx'(\tau)||d\tau$ (ti faccio notare infatti che l'espressione della lunghezza è richiesta in funzione del parametro $t$). Facendo due calcoli ottieni: $||\bbx'(\tau)||=\omega/(2\pi)sqrt(4(k\pi)^2+h^2)$, da cui segue immediatamente che:
Per quanto riguarda $s(T)$, mi spiace ma non saprei aiutarti.
$\bbr(t)=kcos(\omegat)*\hatx+ksin(\omegat)*\haty+(h\omega)/(\2pi)*\hatz$
Partiamo dal punto 4). Puoi notare che, per quanto riguarda le componenti del vettore su $hatx$ e $haty$, si tratta di una circonferenza. Infatti potrei parametrizzare una circonferenza di centro l'origine e raggio $k$ in questo modo:
$x^2+y^2=k^2->{(x=kcos(\omegat)),(y=ksin(\omegat)):}$.
Poichè però anche la componente su $hatz$ varia in funzione del parametro $t$, si tratta di un'elica cilindrica. D'altra parte, potrei porre $z=h/(2\pi)arctan(y/x)$, infatti:
${(x=kcos(\omegat)),(y=ksin(\omegat)):}->y/x=tan(\omegat)->t=1/\omegaarctan(y/x)$,
che risulta coerente con il vettore posizione. In definitiva la curva sulla quale ci stiamo muovendo è un'elica di equazione cartesiana:
$\gamma:{(x^2+y^2=k^2),(z=h/(2\pi)arctan(y/x)):}$.
Per la lunghezza, è sufficiente sfruttare l'integrale di linea: $\int_{0}^t||\bbx'(\tau)||d\tau$ (ti faccio notare infatti che l'espressione della lunghezza è richiesta in funzione del parametro $t$). Facendo due calcoli ottieni: $||\bbx'(\tau)||=\omega/(2\pi)sqrt(4(k\pi)^2+h^2)$, da cui segue immediatamente che:
$s(t)=\omega/(2\pi)sqrt(4(k\pi)^2+h^2)t$
Per quanto riguarda $s(T)$, mi spiace ma non saprei aiutarti.
grazie ad entrambi.
Siete stati piu` che esplicativi!
Posso solo chiedere come avete ottenuto |r'(t)|= ω/2π√(2πk)^2+h^2 ?
mille grazie
Siete stati piu` che esplicativi!
Posso solo chiedere come avete ottenuto |r'(t)|= ω/2π√(2πk)^2+h^2 ?
mille grazie
grazie!
vorrei solo capire perche` la soluzione all'esercizio per il vettore spostamento e` un'altra (o a me sembra diversa! ma come ho gia` detto, sono una schiappa
).
la soluzione dice s(t)=(kcosωt-k)\hat{x} + ksinωt\hat{y} + (hω/2π)t\hat{z}
e quindi per T=2π/ω ==> s(t)=k(1-1)\hat{x} + k⋅0\hat{y} + h\hat{z}=h\hat{z}
vorrei solo capire perche` la soluzione all'esercizio per il vettore spostamento e` un'altra (o a me sembra diversa! ma come ho gia` detto, sono una schiappa
).la soluzione dice s(t)=(kcosωt-k)\hat{x} + ksinωt\hat{y} + (hω/2π)t\hat{z}
e quindi per T=2π/ω ==> s(t)=k(1-1)\hat{x} + k⋅0\hat{y} + h\hat{z}=h\hat{z}
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