Versore

[Shika93]

So che ci sono due formule che si usano per calcolare il versore normale di una funzione (o campo vettoriale)
se ho una superficie cartesiana $Z$
$n_\hat e=((-(\partialZ)/(\partialx),-(\partialZ)/(\partialy),1))/(sqrt(1+ ||\gradZ||^2)$

Se non è una superficie cartesiana qual è l'equazione generica?

[gugo82]

Il libro che dice in proposito?
Dubito che quella formula sia buttata lì così, senza due conti... Quindi basta risalire alla fonte dell'informazione.

[Shika93]

Non ho il libro e sugli appunti ce l'ho scritta in un angolino...
Mi basta la formula per calcolarlo, non la storia di come viene fuori. Giusto da poter risolvere gli integrali nei campi vettoriali (flussi per lo più)

[gugo82]

"Shika93":Non ho il libro

Come mai?

[Shika93]

"gugo82":[quote="Shika93"]Non ho il libro

Come mai?[/quote]
Ho comprato un libro solo libro da quando sono all'università (e si tratta di economia perchè la prof non sapeva spiegare). Il materiale fornito in classe è più che sufficiente. Probabilmente sta cosa l'ha detta una giornata in cui non c'ero, o me lo sono proprio perso quando c'ero. Ho controllato nel quaderno di geometria caso mai l'avessimo fatto lì, ma il versore normale di un vettore o di un piano lo prendevamo direttamente dall'equazione. Non vorrei dilungarmi prima di dire qualche boiata xD

[gugo82]

"Shika93":[quote="gugo82"][quote="Shika93"]Non ho il libro

Come mai?[/quote]
Ho comprato un libro solo libro da quando sono all'università (e si tratta di economia perchè la prof non sapeva spiegare).[/quote]
Male.

"Shika93":Il materiale fornito in classe è più che sufficiente.

Nulla rimpiazza un buon libro di testo. Mai.

Per tornare a noi, assegnata una parametrizzazione \(\phi:B\to \mathbb{R}^3\), \(\phi (u,v):= \big( x(u,v), y(u,v), z(u,v)\big)\), il campo di vettori normali \(N(u,v)\) indotto dalla parametrizzazione è dato dal prodotto vettoriale:
\[
\frac{\partial \phi}{\partial u}(u,v)\land \frac{\partial \phi}{\partial v}(u,v)
\]
in cui:
\[
\begin{split}
\frac{\partial \phi}{\partial u}(u,v) &= \left( x_u (u,v), y_u (u,v), z_u (u,v) \right)\\
\frac{\partial \phi}{\partial v}(u,v) &= \left( x_v (u,v), y_v (u,v), z_v (u,v) \right)
\end{split}
\]
sono le derivate parziali della parametrizzazione.
Il campo dei versori normali si ottiene normalizzando \(N(u,v)\).

[Shika93]

Mi sembrava ci fosse una frazione di mezzo. Grazie mille

[Emar1]

C'è una frazione dovuta alla normalizzazione...

[Shika93]

Quindi il versore normale è
$((\partial \phi)/(\partial u)^^(\partial \phi)/(\partial v))/||(\partial \phi)/(\partial u)^^(\partial \phi)/(\partial v)||$