Versione indebolita del teorema di confronto. [funzioni real

[Kashaman]

NOTAZIONE : $Dr(A) =$ insieme punti di accumulazione di $A$
$I_(x_0)$= insieme intorni sferici di centro $x_0$

Ho questo teorema un poco alternativo del teorema del confronto ,
Siano $f,g : A->RR$ con $A sube RR$. $x_0 \in Dr(A)$
Se $EE I \in I_(x_0) : AA x in InnA,x!=x_0 : f(x)<=g(x)$ (1) , ed $EElim_(x->x_0)f(x)=l_1 , EElim_(x_0)g(x)=l_2$ (2)
allora $l_1<=l_2$

Ho provato a dimostrarlo, desidererei che verificaste la correttezza .


dim :
Procediamo per assurdo. Supponiamo che $l_1>l_2$.
Fisso $\epsilon = (l_1-l_2)/2 >0$.
Da (1) e (2) ho che $EElim_(x->x_0)f(x)=lim_(x->x_0)f_(|(InnA))(x)=l_1 , EElim_(x->x_0)g(x)=lim_(x->x_0)g_(|(InnA))(x)=l_2$.
Pertanto in corrispondenza di tale $\epsilon$ ho che
$EE \delta_1 >0 t.c AA x \in InnA,x!=0 : |x-x_0|<\delta_1 => |f(x)-l_1|< (l_1-l_2)/2 <=> l_1- (l_1-l_2)/2 < f(x) < l_1+(l_1-l_2)/2 $
$EE \delta_2 >0 t.c AA x \in InnA,x!=0 : |x-x_0|<\delta_1 => |f(x)-l_2|< (l_1-l_2)/2 <=> l_2- (l_1-l_2)/2 < g(x) < l_2+(l_1-l_2)/2 $
Posto ora $\delta = min {\delta_1 , \delta_2}$
Ho che $\forall x in Inn A , x!=x_0$
$(l_1+l_2)/2=l_1- (l_1-l_2)/2

Va bene dimostrato così? grazie a tutti

[Kashaman]

uppino

[Rigel1]

Penso sia giusto, ma forse anche eccessivamente complicato.
La funzione \(h(x) := f(x) - g(x)\) è \(\leq 0\), e per ipotesi ammette limite che vale \(l:=l_1 - l_2\).
D'altra parte deve essere \(l\leq 0\) poiché \(h\leq 0\) (e qui, se lo ritieni necessario, puoi fare una dim. per assurdo usando la def. di limite oppure usando il teor. di permanenza del segno).

[Kashaman]

thanks rigel