Verifiche di limite
Ciao a tutti. Sto facendo esercizi su verifiche di limite di funzioni secondo la definizione, e ho constatato le difficoltà che questo a volte comporta. Mi capita di dover fare sempre un sacco di casistiche sui valori che la epsilon può assumere e questo amplia gli esercizi a dismisura. Volevo chiedervi se ci sono dei trucchi algebrici per risparmiarsi (quando si può ovviamente, la mia non è svogliatezza) dei conti. Per es. ieri ho dovuto verificare il seguente limite:
lim x tende a -1 di (3x)/(x+4) = -1
Sono arrivato anche alla fine, distinguendo due casi: quando epsilon è maggiore o minore di 4 e alla fine, dopo 3 pagine di quaderni, forse ho trovato degli intorni. Dico forse perchè tra tutti questi conti qualcuno potrà essere sbagliato, poi ci sono quantità che non si sa se siano più piccole di altre o meno, e quindi intersecando i risultati delle varie disequazioni, è difficile capire il risultato. Per questo vi chiedevo, in questo caso, e quindi in generale come potrei procedere meglio. Grazie.
lim x tende a -1 di (3x)/(x+4) = -1
Sono arrivato anche alla fine, distinguendo due casi: quando epsilon è maggiore o minore di 4 e alla fine, dopo 3 pagine di quaderni, forse ho trovato degli intorni. Dico forse perchè tra tutti questi conti qualcuno potrà essere sbagliato, poi ci sono quantità che non si sa se siano più piccole di altre o meno, e quindi intersecando i risultati delle varie disequazioni, è difficile capire il risultato. Per questo vi chiedevo, in questo caso, e quindi in generale come potrei procedere meglio. Grazie.
Risposte
Dunque, fissato $\varepsilon>0$, dobbiamo dimostrare che esiste $\delta>0$ tale che se $|x+1|<\delta$ e $x\ne -1$ allora
\[
\bigg|\frac{3x}{x+4}+1\bigg|<\varepsilon.
\]
Ci basta porre $\delta=\min\{1,\varepsilon/2\}$. Infatti così facendo, si ha che la distanza tra $x$ e $-1$ (che è $|x+1|$) è minore di $1$, e di conseguenza $|x+4|\geq 2$. Essendo inoltre $|x+1|<\delta\leq \varepsilon/2$, si ha che
\[
\bigg|\frac{3x}{x+4}+1\bigg|=4\frac{|x+1|}{|x+4|}\leq 4\frac{|x+1|}{2}=2|x+1|<2\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon.
\]
C.V.D.
\[
\bigg|\frac{3x}{x+4}+1\bigg|<\varepsilon.
\]
Ci basta porre $\delta=\min\{1,\varepsilon/2\}$. Infatti così facendo, si ha che la distanza tra $x$ e $-1$ (che è $|x+1|$) è minore di $1$, e di conseguenza $|x+4|\geq 2$. Essendo inoltre $|x+1|<\delta\leq \varepsilon/2$, si ha che
\[
\bigg|\frac{3x}{x+4}+1\bigg|=4\frac{|x+1|}{|x+4|}\leq 4\frac{|x+1|}{2}=2|x+1|<2\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon.
\]
C.V.D.
Perchè dici che |x+4| >= 2?
E perchè |x+1| < 1? Questa seconda cosa la dici perchè è quello a cui vuoi arrivare tu?
Scusami, ma il mio problema è che risolvo queste definizioni in maniera "algoritmica", cioè mi chiudo a risolvere quelle disequazioni in maniera totale, ricercando tutte le soluzioni, quando invece a noi ce ne basta anche una parte, purchè sia un intorno del punto a cui tende f(x). Ti chiedo questo perchè vorrei imparare a padroneggiare questi metodi per abbreviare i conti.
P.S. Se per esempio cerco un intorno di 1 e arrivo a -1 < x < 2, questo è un intorno di +1, ma come estraggo il delta che ricerco?
Grazie.
E perchè |x+1| < 1? Questa seconda cosa la dici perchè è quello a cui vuoi arrivare tu?
Scusami, ma il mio problema è che risolvo queste definizioni in maniera "algoritmica", cioè mi chiudo a risolvere quelle disequazioni in maniera totale, ricercando tutte le soluzioni, quando invece a noi ce ne basta anche una parte, purchè sia un intorno del punto a cui tende f(x). Ti chiedo questo perchè vorrei imparare a padroneggiare questi metodi per abbreviare i conti.
P.S. Se per esempio cerco un intorno di 1 e arrivo a -1 < x < 2, questo è un intorno di +1, ma come estraggo il delta che ricerco?
Grazie.
"Albirz":
Perchè dici che $|x+4| >= 2$?
Perché abbiamo detto che $|x+1|<1$, ovvero $-2
"Albirz":
E perché $|x+1| < 1$? Questa seconda cosa la dici perché è quello a cui vuoi arrivare tu?
Essendo $|x+1|<\delta$ ed avendo definito $\delta=\min\{1,\varepsilon/2\}$, segue che $|x+1|<1$.
N.B. Forse ti è più chiaro se $|x+1|<\delta$ te lo scrivo come $|x-(-1)|<\delta$.
"Albirz":
Scusami, ma il mio problema è che risolvo queste definizioni in maniera "algoritmica", cioè mi chiudo a risolvere quelle disequazioni in maniera totale, ricercando tutte le soluzioni, quando invece a noi ce ne basta anche una parte, purché sia un intorno del punto a cui tende $f(x)$. Ti chiedo questo perché vorrei imparare a padroneggiare questi metodi per abbreviare i conti.
P.S. Se per esempio cerco un intorno di $1$ e arrivo a $-1 < x < 2$, questo è un intorno di $+1$, ma come estraggo il delta che ricerco?
Grazie.
Non mi è chiaro cosa stai chiedendo
Metti il simbolo del dollaro "\$" all'inizio e alla fine delle formule!
Supponiamo che stia verificando un limite di una funzione per x che tende ad un valore, per esempio +1. Ora fissato epsilon io vado alla ricerca di un intorno completo di +1, e supponiamo che arrivo a risolvere la disequazione e trovo
$ (-1 - epsilon) < x < (3 + epsilon) $
Questo è ora un intorno di +1 ma se io voglio cercare un delta che mi definisce tale intorno, cioè quel valore tale che
|x-1| < delta, come posso trovarlo?
Spero di spiegarmi bene...
$ (-1 - epsilon) < x < (3 + epsilon) $
Questo è ora un intorno di +1 ma se io voglio cercare un delta che mi definisce tale intorno, cioè quel valore tale che
|x-1| < delta, come posso trovarlo?
Spero di spiegarmi bene...
Per trovare $\delta$ (che dipende da $\varepsilon$) devi risolvere la disequazione
\[
|f(x)-L|<\varepsilon
\]
supponendo $|x-1|<\delta$, con $\delta$ ancora da stabilire.
Ti faccio un esempio facilissimo: se $f(x)=2x$ (e dunque $L=2$), allora fissato $\varepsilon>0$ e risolvendo
\[
|2x-2|<\varepsilon
\]
si ottiene
\[
|x-1|<\frac{\varepsilon}{2}.
\]
Abbiamo quindi scoperto che $|2x-2|<\varepsilon$ (ovvero $|f(x)-L|<\varepsilon$) per $|x-1|<\varepsilon/2$, e quindi possiamo porre $\delta=\varepsilon/2$, così da ottenere $|f(x)-L|<\varepsilon$ per ogni $x$ tale che $|x-1|<\delta$.
Purtroppo non sempre è così facile, e non c'è un procedimento per trattare tutti i casi possibili. Ad esempio nell'esercizio che avevi proposto te avevamo che
\[
|f(x)-L|=4\frac{|x+1|}{|x+4|},
\]
e dovevamo dimostrare che il tutto era minore di $\varepsilon$. In questo caso avevamo una frazione, che in generale può tendere all'infinito quando il denominatore tende a zero. Però nei passaggi che ti ho scritto ho sfruttato il fatto che $x$ stava tendendo a $-1$, e di conseguenza $x+4$ non poteva tendere a zero (in particolare ti avevo scritto che $x+4$ era maggiore di $2$ se la distanza tra $x$ e $-1$ era inferiore a $1$), e in questo modo siamo riusciti a sbarazzarci del denominatore. Per il resto si trattava di dimostrare che fosse
\[
2|x+1|<\varepsilon,
\]
cosa del tutto simile all'esempio che ti scritto prima.
\[
|f(x)-L|<\varepsilon
\]
supponendo $|x-1|<\delta$, con $\delta$ ancora da stabilire.
Ti faccio un esempio facilissimo: se $f(x)=2x$ (e dunque $L=2$), allora fissato $\varepsilon>0$ e risolvendo
\[
|2x-2|<\varepsilon
\]
si ottiene
\[
|x-1|<\frac{\varepsilon}{2}.
\]
Abbiamo quindi scoperto che $|2x-2|<\varepsilon$ (ovvero $|f(x)-L|<\varepsilon$) per $|x-1|<\varepsilon/2$, e quindi possiamo porre $\delta=\varepsilon/2$, così da ottenere $|f(x)-L|<\varepsilon$ per ogni $x$ tale che $|x-1|<\delta$.
Purtroppo non sempre è così facile, e non c'è un procedimento per trattare tutti i casi possibili. Ad esempio nell'esercizio che avevi proposto te avevamo che
\[
|f(x)-L|=4\frac{|x+1|}{|x+4|},
\]
e dovevamo dimostrare che il tutto era minore di $\varepsilon$. In questo caso avevamo una frazione, che in generale può tendere all'infinito quando il denominatore tende a zero. Però nei passaggi che ti ho scritto ho sfruttato il fatto che $x$ stava tendendo a $-1$, e di conseguenza $x+4$ non poteva tendere a zero (in particolare ti avevo scritto che $x+4$ era maggiore di $2$ se la distanza tra $x$ e $-1$ era inferiore a $1$), e in questo modo siamo riusciti a sbarazzarci del denominatore. Per il resto si trattava di dimostrare che fosse
\[
2|x+1|<\varepsilon,
\]
cosa del tutto simile all'esempio che ti scritto prima.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo