Verificare soluzione equazione differenziale
online ho trovato un esercizio in cui si chiede di verificare che $ sin2x $ sia soluzione di $ y''''+4y'''+8y''+16y'+16y=0 $ .
io avrei svolto l'esercizio facendo una verifica diretta, cioè sostituendo nell'equazione differenziale le derivate di $ sin2x $ . invece nello svolgimento dell'esercizio leggo che, invece di fare una verifica diretta, si può calcolare il polinomio caratteristico $ p(λ)=λ^4+4λ^3+8λ^2+16λ+16 $ e concludere che $ sin2x $ è una soluzione perchè $ 2i $ e $ -2i $ sono radici di $ p(λ) $ . ma perchè si può affermare ciò?
io avrei svolto l'esercizio facendo una verifica diretta, cioè sostituendo nell'equazione differenziale le derivate di $ sin2x $ . invece nello svolgimento dell'esercizio leggo che, invece di fare una verifica diretta, si può calcolare il polinomio caratteristico $ p(λ)=λ^4+4λ^3+8λ^2+16λ+16 $ e concludere che $ sin2x $ è una soluzione perchè $ 2i $ e $ -2i $ sono radici di $ p(λ) $ . ma perchè si può affermare ciò?
Risposte
Prova a pensare al fatto che $e^{i \theta}= \cos \theta + i \sin \theta$ e come ciò è collegato alle equazioni differenziali di quella forma.
altro piccolo suggerimento? non mi viene ancora nulla in mente 
Come risolveresti l'equazione differenziale $y''''+4y'''+8y''+16y'+16y=0$?
trovando la radice di quel polinomio caratteristico che è $ lambda=-2 $ quindi la soluzione è $ y=c_1e^(-2x) $ ?
Il polinomio caratteristico associato all'equazione differenziale di cui stiamo parlando è un polinomio di quarto grado in $\mathbb{C}$ (ricorda che $\lambda$ è complesso) e quindi ammette, come conseguenza del teorema fondamentale dell'algebra, quattro radici complesse (tenendo conto delle loro molteplicità algebriche), perciò dire "la" soluzione (che implica che essa sia una soltanto) è scorretto; scusa se sono pedante, ma è meglio acquisire il prima possibile un linguaggio il più possibile preciso.
Poi, sai dalla soluzione che che $2i$ e $-2i$ sono radici e non sono uscite fuori da quanto hai affermato nell'ultimo messaggio. C'è qualcosa che non va: fammi vedere i passaggi con cui hai risolto l'equazione associata al polinomio caratteristico, per favore.
Detto ciò: sì, devi trovare le soluzioni dell'equazione associata al polinomio caratteristico, ma come ottieni il polinomio caratteristico?
Poi, sai dalla soluzione che che $2i$ e $-2i$ sono radici e non sono uscite fuori da quanto hai affermato nell'ultimo messaggio. C'è qualcosa che non va: fammi vedere i passaggi con cui hai risolto l'equazione associata al polinomio caratteristico, per favore.
Detto ciò: sì, devi trovare le soluzioni dell'equazione associata al polinomio caratteristico, ma come ottieni il polinomio caratteristico?
rifatto i calcoli, scomponendo il polinomio caratteristico con ruffini: $ p(λ)=(λ+2)^2(λ^2+4) $ da cui le 4 radici $ λ_1=-2,λ_2=-2,λ_3=2i,λ_4=-2i $
e ora
immagino ci sia una relazione tra $ sin(2x) $ e $ ±2i $ da trovare tramite $ e^(itheta)=costheta+isentheta $
e ora
immagino ci sia una relazione tra $ sin(2x) $ e $ ±2i $ da trovare tramite $ e^(itheta)=costheta+isentheta $
Ok, ma non hai risposto a questa domanda:
"Mephlip":
... ma come ottieni il polinomio caratteristico?
scrivendo y=λ elevato a un esponente che è l'ordine di derivazione di y nell'equazione differenziale? perdonami se non riesco a capire
Non ti devi scusare, nessun problema!
Assolutamente no. Non scrivi quello, scrivi altro. Ed è proprio per questo approccio "automatico" agli esercizi che ti impedisce di collegare i concetti. Che dice il libro di teoria a riguardo di questo tipo di equazioni differenziali? Cosa dicono gli appunti del corso a riguardo (anche se qua dipende dal livello del corso, cosa studi?)?
"itisscience":
scrivendo y=λ elevato a un esponente che è l'ordine di derivazione di y nell'equazione differenziale? perdonami se non riesco a capire
Assolutamente no. Non scrivi quello, scrivi altro. Ed è proprio per questo approccio "automatico" agli esercizi che ti impedisce di collegare i concetti. Che dice il libro di teoria a riguardo di questo tipo di equazioni differenziali? Cosa dicono gli appunti del corso a riguardo (anche se qua dipende dal livello del corso, cosa studi?)?
sono al primo anno di fisica, sempre avuto la brutta abitudine di buttarmi sugli esercizi avendo solo un'infarinatura della teoria, tornerò a controllare 
"itisscience":
...
sempre avuto la brutta abitudine di buttarmi sugli esercizi avendo solo un'infarinatura della teoria
...
Ma va? Non l'avrei mai immaginato
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