Verificare se una funzione è misurabile e calcolarne l'integrale

[antemysya]

Buonasera, vorrei sapere se ho ragionato "bene" su questo esercizio, e qualora dica qualche sciocchezza spero possiate perdonarmi.
ESERCIZIO: Sia $f:[0,1]->RR$ una funzione definita così:
$\{(n, if x=(2n)/(n^2+1)), (5, text{altrimenti}):}$
Dimostrare che $f$ è misurabile e calcolare $\int_0^1f(x)dx$


Io ho pensato si svolgerlo così:
chiamo $E={x in[0,1]|x=(2n)/(n^2+1), ninNN}$, tale insieme ha misura nulla poichè $NN$ è misurabile, allora in $E$ abbiamo $x$ numerabili. Un insieme numerabile ha misura di Lebesgue è nulla. $m(E)=0$
Quindi $f$ assume per lo più valore 5, ovvero $f=5$ q.o.
Posto $h=5$ tale funzione è costante quindi è continua, allora posso affermare che, essendo definita in un insieme misurabile, sarà $h$ misurabile. La $f$ di partenza allora è una funzione misurabile.
Ora passando all'inegrale, poichè $f=h=5$ q.o. sarà $\int_0^1f(x)dx =int_0^1h(x)dx$. Dunque $\int_0^1 5dx = 5$

[gugo82]

Sì ok.
La $f$ è continua q.o. in $[0,1]$, quindi è misurabile, ed il suo integrale coincide con quello della funzione identicamente uguale a $5$.

[antemysya]

Grazie mille gugo82