Verificare se cosh è una funzione analitica
Esercizo
Soluzione svolta
Per dimostrare che una funzione analitica devo vedere se è esprimibile in una serie di potenza convergente.
Nel primo passaggio utilizza la serie di potenze già nota dell'esponenziale e fin lì, per quanto mi riguarda, ha già espresso $ cosh(t) $ come serie di potenze. Non capisco perchè fa quel secondo passaggio, ma soprattutto, cos'è? Da dove diavolo esce fuori? Potreste darmi un suggerimento ?
grazie
Soluzione svolta
Per dimostrare che una funzione analitica devo vedere se è esprimibile in una serie di potenza convergente.
Nel primo passaggio utilizza la serie di potenze già nota dell'esponenziale e fin lì, per quanto mi riguarda, ha già espresso $ cosh(t) $ come serie di potenze. Non capisco perchè fa quel secondo passaggio, ma soprattutto, cos'è? Da dove diavolo esce fuori? Potreste darmi un suggerimento ?
grazie
Risposte
Separa i [tex]k=2n=pari[/tex] dai [tex]k=2n+1=dispari[/tex]:
[tex]\sum_k=\sum_{k:k\text{ è pari}}+\sum_{k:k\text{ è dispari}}[/tex]
e scrive il seno iperbolico come una serie di potenze (all'inizio era una differenza fra due serie di potenze).
[tex]\sum_k=\sum_{k:k\text{ è pari}}+\sum_{k:k\text{ è dispari}}[/tex]
e scrive il seno iperbolico come una serie di potenze (all'inizio era una differenza fra due serie di potenze).
Perfetto! Grazie mille! ora tutto chiaro
Ciao marcop 
Ho letto ciò che richiede l'esercizio e la soluzione proposta che sfrutta lo sviluppo in serie. Ti scrivo qua un metodo che ti permette, in alcuni casi, di verificare se una funzione è analitica senza ricorrere allo sviluppo in serie. Si chiamano condizioni di Cauchy-Riemann. Per la dimostrazione ti rimando a qualunque sito internet tanto sono "famose"
. Il passaggio più lungo è quello di dividere $ f(t) $ nella sua parte reale e immaginaria. Ciò si ottiene così: se tu hai $ f(t) $, scrivi $ t=x+iy $ dividi $ f(t) $ nella sua parte reale ($ u(x,y) $) e immaginaria ($ v(x,y) $). A questo punto usi le condizioni di C-R.
$ f(t) $ è analitica $ hArr $ $ { ( (partialu)/(partialx)=(partialv)/(partialy) ),( (partialu)/(partialy)=-(partialv)/(partialx) ):} $.
Nel tuo caso sia ha $ senht=(e^t-e^-t)/2=(e^(x+iy)-e^(-x-iy))/2=(e^x(cosy+iseny)-e^-x(cosy -iseny))/2 $ $ =cosy(e^x-e^-x)/2+iseny(e^x+e^-x)/2=cosysenhx+isenycoshx $.
Hai che $ u(x,y)=cosysenhx $ e $ v(x,y)=senycoshx $ $ rArr $ $ (partialu)/(partialx)=cosycoshx=cosycoshx=(partialv)/(partialy) $ e
$ (partialu)/(partialy)=-senysenhx=-senysenhx=-(partialv)/(partialx) $.
In questo caso risultano un pò di calcoli però in certi casi sono molto utili. Se non ti è chiaro qualcosa scrivi pure.
Ciao!
Ho letto ciò che richiede l'esercizio e la soluzione proposta che sfrutta lo sviluppo in serie. Ti scrivo qua un metodo che ti permette, in alcuni casi, di verificare se una funzione è analitica senza ricorrere allo sviluppo in serie. Si chiamano condizioni di Cauchy-Riemann. Per la dimostrazione ti rimando a qualunque sito internet tanto sono "famose"
. Il passaggio più lungo è quello di dividere $ f(t) $ nella sua parte reale e immaginaria. Ciò si ottiene così: se tu hai $ f(t) $, scrivi $ t=x+iy $ dividi $ f(t) $ nella sua parte reale ($ u(x,y) $) e immaginaria ($ v(x,y) $). A questo punto usi le condizioni di C-R.$ f(t) $ è analitica $ hArr $ $ { ( (partialu)/(partialx)=(partialv)/(partialy) ),( (partialu)/(partialy)=-(partialv)/(partialx) ):} $.
Nel tuo caso sia ha $ senht=(e^t-e^-t)/2=(e^(x+iy)-e^(-x-iy))/2=(e^x(cosy+iseny)-e^-x(cosy -iseny))/2 $ $ =cosy(e^x-e^-x)/2+iseny(e^x+e^-x)/2=cosysenhx+isenycoshx $.
Hai che $ u(x,y)=cosysenhx $ e $ v(x,y)=senycoshx $ $ rArr $ $ (partialu)/(partialx)=cosycoshx=cosycoshx=(partialv)/(partialy) $ e
$ (partialu)/(partialy)=-senysenhx=-senysenhx=-(partialv)/(partialx) $.
In questo caso risultano un pò di calcoli però in certi casi sono molto utili. Se non ti è chiaro qualcosa scrivi pure.
Ciao!
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