Verificare l'uniforme continuità
Buongiorno, sto provando a verificare
Sia $f:[a, + infty) to RR$ tale che
a)$f$ continua,
b)$f$ ammette asintoto orizzontale di equazione $y=b$
Devo verificare che $f$ è uniformemente continua in $[a, + infty)$.
Procedo cosi: siano $x, x_0 in [a, + infty)$ tali che $x_0=x+1/h$ con $h>0$.
Considero
ora
grazie all'ipotesi b), inoltre, per la a) $|f(x)-b| in RR$, quindi $gamma := |f(x)-b|$, infine
$|x-x_0|=1/h$
Il rapporto incrementale $|f(x)-f(x_0)|/|x-x_0|<2hgamma$, allora
Allora per ogni $epsilon>0$ esiste $delta=epsilon/(2hgamma)$ tale che per ogni $x, x_0 in [a, + infty)$ si ha
Sia $f:[a,+ infty) to RR$ continua, e inoltre ammette asintoto orizzontale, quindi, si ha $f(x)=b+ o(1), x to + infty$.
Sia $P$ il punto di coordinate $P=(x,f(x))$ con $x in [a,+infty)$ si ha che la distanza da $P$ alla retta di equazione $y=b$ è data dalla formula $d(P,b)=|f(x)-b|$
Presi due punti $x,x' in [a,+infty)$ con $x$d(Q,b)>d(S,b)<=>|f(x)-b|>|f(x')-b|$
Per verificare che vale procedo cosi: (guarda la foto)
Considero $x_m=(x+x')/2$, poi considero i due triangoli rettangoli, i quali hanno i due cateti di base di ugual lunghezza, e li indico con $c$ e $c'$ cioè si ha per i teoremi su triangoli rettangoli $c=c' <=> a cos(beta)=a'cos(beta')$ per cui $a=(a'cos(beta'))/cos(beta)$
Dall'altra parte
$l-l'=asin(beta)-a'sin(beta')=(a'cos(beta'))/cos(beta)sin(beta)-a'sin(beta')=(a'cos(beta')sin(beta)-a'sin(beta')cos(beta))/(cos(beta)$, cioè $l-l'=(a'(cos(beta')sin(beta)-sin(beta')cos(beta)))/(cos(beta))=a'sin(beta+beta')/cos(beta)$
Ora $00$ e $0<(beta+beta')0$, quindi $l>l'$
Sia $f:[a, + infty) to RR$ tale che
a)$f$ continua,
b)$f$ ammette asintoto orizzontale di equazione $y=b$
Devo verificare che $f$ è uniformemente continua in $[a, + infty)$.
Procedo cosi: siano $x, x_0 in [a, + infty)$ tali che $x_0=x+1/h$ con $h>0$.
Considero
$|f(x)-f(x_0)|=|x-x_0|||f(x)-f(x_0)|/|x-x_0|$
ora
$|f(x)-f(x_0)|=|f(x)-b-f(x_0)+b| le|f(x)-b|+|f(x_0)-b|<2|f(x)-b|$
grazie all'ipotesi b), inoltre, per la a) $|f(x)-b| in RR$, quindi $gamma := |f(x)-b|$, infine
$|x-x_0|=1/h$
Il rapporto incrementale $|f(x)-f(x_0)|/|x-x_0|<2hgamma$, allora
$|f(x)-f(x_0)|=|x-x_0||f(x)-f(x_0)|/|x-x_0|<2hgamma|x-x_0|$
cioè$|f(x)-f(x_0)|<2hgamma|x-x_0|$
Allora per ogni $epsilon>0$ esiste $delta=epsilon/(2hgamma)$ tale che per ogni $x, x_0 in [a, + infty)$ si ha
$|f(x)-f(x_0)|
Va bene ?
Va bene ?
Risposte
Mi risulta un po' difficile da seguire per come è scritta, inoltre non mi tornano un paio di cose:
(i) Dici che vale $|f(x)-b|+|f(x_0)-b|<2|f(x)-b|$ perché $\lim_{x \to +\infty} f(x)=b$. Tuttavia, detto $M$ il numero reale quantificato con il quantificatore esistenziale della definizione di $\lim_{x \to +\infty} f(x)=b$, allora le disuguaglianze di quel tipo valgono solo se $x>M$. Cosa ti assicura che $x_0$ sia tale che $x_0>M$? In più, se per dedurre quella disuguaglianza hai usato l'arbitrarietà di $\epsilon$ con $|f(x_0)-b|$ al posto di $\epsilon$, allora $M$ dipende da $x_0$ (perché dipendeva da $\epsilon$ e ora $\epsilon$ dipende da $x_0$). Non va bene che ci siano dipendenze di questo tipo, perché l'uniforme continuità vuole proprio che non ci siano.
(ii) Anche il tuo $\delta$ dipende da $x$, perché esso dipende da $\gamma$ e $\gamma$ dipende da $x$ perché hai posto $\gamma:=|f(x)-b|$. Ti consiglio di esplicitare sempre le dipendenze con dei pedici.
Poi, assumi $x_0=x+1/h$ con $h>0$ (suppongo per considerare un arbitrario punto $x_0$ maggiore di $x$), ma allora perché non assumere semplicemente $x_0=x+h$? Non che sia troppo rilevante, in realtà. Giusto per capire meglio cosa stai pensando.
Metto sotto spoiler dei suggerimenti.
(i) Dici che vale $|f(x)-b|+|f(x_0)-b|<2|f(x)-b|$ perché $\lim_{x \to +\infty} f(x)=b$. Tuttavia, detto $M$ il numero reale quantificato con il quantificatore esistenziale della definizione di $\lim_{x \to +\infty} f(x)=b$, allora le disuguaglianze di quel tipo valgono solo se $x>M$. Cosa ti assicura che $x_0$ sia tale che $x_0>M$? In più, se per dedurre quella disuguaglianza hai usato l'arbitrarietà di $\epsilon$ con $|f(x_0)-b|$ al posto di $\epsilon$, allora $M$ dipende da $x_0$ (perché dipendeva da $\epsilon$ e ora $\epsilon$ dipende da $x_0$). Non va bene che ci siano dipendenze di questo tipo, perché l'uniforme continuità vuole proprio che non ci siano.
(ii) Anche il tuo $\delta$ dipende da $x$, perché esso dipende da $\gamma$ e $\gamma$ dipende da $x$ perché hai posto $\gamma:=|f(x)-b|$. Ti consiglio di esplicitare sempre le dipendenze con dei pedici.
Poi, assumi $x_0=x+1/h$ con $h>0$ (suppongo per considerare un arbitrario punto $x_0$ maggiore di $x$), ma allora perché non assumere semplicemente $x_0=x+h$? Non che sia troppo rilevante, in realtà. Giusto per capire meglio cosa stai pensando.
Metto sotto spoiler dei suggerimenti.
Non so se ti rispondo, però cosi dovrebbe andare meglio $ |f(x)-b|+|f(x_0)-b|<2|f(x)-b|<2|f(a)-b| $, quindi $gamma:= |f(a)-b|$.
In questo modo, dovrebbe scomparire la dipendenza dalla $x$.
In questo modo, dovrebbe scomparire la dipendenza dalla $x$.
E perché dovrebbe essere vero che $|f(x)-b|<|f(a)-b|$? Me lo dimostri?
Sia $f:[a,+ infty) to RR$ continua, e inoltre ammette asintoto orizzontale, quindi, si ha $f(x)=b+ o(1), x to + infty$.
Sia $P$ il punto di coordinate $P=(x,f(x))$ con $x in [a,+infty)$ si ha che la distanza da $P$ alla retta di equazione $y=b$ è data dalla formula $d(P,b)=|f(x)-b|$
Presi due punti $x,x' in [a,+infty)$ con $x
Per verificare che vale procedo cosi: (guarda la foto)
Considero $x_m=(x+x')/2$, poi considero i due triangoli rettangoli, i quali hanno i due cateti di base di ugual lunghezza, e li indico con $c$ e $c'$ cioè si ha per i teoremi su triangoli rettangoli $c=c' <=> a cos(beta)=a'cos(beta')$ per cui $a=(a'cos(beta'))/cos(beta)$
Dall'altra parte
$l-l'=asin(beta)-a'sin(beta')=(a'cos(beta'))/cos(beta)sin(beta)-a'sin(beta')=(a'cos(beta')sin(beta)-a'sin(beta')cos(beta))/(cos(beta)$, cioè $l-l'=(a'(cos(beta')sin(beta)-sin(beta')cos(beta)))/(cos(beta))=a'sin(beta+beta')/cos(beta)$
Ora $0
Il punto è che la costruzione geometrica che fai non è generale. Nel tuo problema, $f$ è una funzione continua qualunque con l'unico vincolo aggiuntivo di avere un asintoto orizzontale per $x\to+\infty$; nella costruzione geometrica stai, ad esempio, assumendo $f$ decrescente, positiva, tendente a $+\infty$ per $x \to a^+$, mentre nelle ipotesi del tuo teorema tutto questo non è necessariamente vero. La $f$ potrebbe essere crescente, o cambiare monotonia infinite volte, o essere definita a tratti in maniera strana pur rimanendo continua. Immagina una cosa che oscilla sopra e sotto l'asse delle $x$ smorzandosi a $0$ per $x\to+\infty$, come $g(x)=\frac{\sin x}{x}$ o $h(x)=e^{-\frac{x}{10}} \sin x$, vedi subito che non è vero.
Hai ragione, ho associato, a torto, ad asintoto orizzontale una sorta di andamento non brusco su tutto il dominio.
Provo a fare come hai consigliato e ti rispondo.
Grazie per il momento
Provo a fare come hai consigliato e ti rispondo.
Grazie per il momento
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