Verificare limite tramite definizione

[Piggy1]

Salve ragazzi qualcuno mi puo' spiegare come risolvere i limiti utilizzando la definizione stessa di limite?
Ad esempio :

$\lim_{x,y \to \0}$ $(x^4)/(x^2+y^2)$ $=$ $0$

sul libro mette in mezzo delle disuguaglianze tipo :

$ x^4 =x^2*x^2 $ $<=$ $x^2 * (x^2 * y^2 )$

e sinceramente vorrei capire il procedimento tramite queste disuguaglianze.
grazie mille a tutti per l'attenzione!

[_prime_number]

Quella diseguaglianza non mi sembra vera, considerando che $x,y \to 0$. Se prendiamo ad esempio $y=1/2$ non è vero che
$x^4 \leq (x^4)/4$

Esercizi del genere sono stati discussi varie volte in questa sezione, anche recentemente. Prova ad usare la funzione di ricerca.

Paola

[Gi81]

"Piggy":$...x^2*x^2 $ $<=$ $x^2 * (x^2 * y^2 )...$

Non è che si voleva scrivere $x^2*x^2<=x^2*(x^2+y^2)$
e da questo concludere che $x^4/(x^2+y^2) <=x^2$?

[Piggy1]

esatto anche se poi continua con $ x^2$ $<=$ $x^2+y^2$

non capisco come arriva a questi ragionamenti e soprattutto cosa ha fatto!!

[_prime_number]

Secondo me vuole fare qualcosa del tipo $0\leq \frac{x^4}{x^2+y^2}\leq \frac{x^2(x^2+y^2)}{x^2+y^2}=x^2$.
La diseguaglianza l'ha facilmente ottenuta perché ha aggiunto qualcosa di positivo ($y^2$) ottenendo naturalmente una quantità più grande.

Paola

[Piggy1]

qualcuno mi può spiegare queste maggiorazioni e il loro procedimento??

[abral]

scusa, prime_number ti ha risposto.

$ x^4 $ è evidentemente uguale a $ x^2 * x^2 $.

$ x^2 * x^2 $ è minore o uguale a $ x^2 * (x ^ 2 + y ^ 2) $, perchè naturalmente $ x^2 <= x^2 + y^2 $, perché stai aggiungendo $ y^2 $ che è una quantità sicuramente positiva.