Verificare limite di una funzione di due variabili e...

[smaug1]

Come si fa ad usare la definizione di limite di una funzione di due variabili per verificare il limite di una data funzione tipo:

\(\displaystyle lim \)
\(\displaystyle (x,y) \)\(\displaystyle \rightarrow \)\(\displaystyle (0,0) \) \(\displaystyle \frac{x^4+y^4}{x^2+y^2}=0 \)

Ovvero come posso trovare il \(\displaystyle \delta? \)

Inoltre in genere come si fa per mostrare che non esiste il limite di una funzione tipo:

\(\displaystyle \lim \)
\(\displaystyle (x,y) \)\(\displaystyle \rightarrow \)\(\displaystyle (0,0) \) \(\displaystyle \frac{xy}{x^2+y^2} \)

il professore mi ha detto per aiutarmi che si può utilizzare l'equazione di una retta e sostituirla alla funzione ma non ho capito moltissimo cosa intendeva...so che per il regolamento dovrei provare a svolgere l'esercizio ma non so proprio come iniziare...forse dovrei qui scrivere anche la definizione di limite?

\(\displaystyle f:D\rightarrow R\) con \(\displaystyle D \epsilon R^2 \) allora si dice che:

\(\displaystyle \lim \) \(\displaystyle F(x,y)=l \)
\(\displaystyle (x,y)\rightarrow (x_o,y_o) \)

se \(\displaystyle \forall \varepsilon>0, \exists \delta>0: (f(x,y)-l) < \varepsilon \forall (x,y) \epsilon D, (x,y) \neq (x_o,y_o), t.c (x,y) \epsilon I_\delta (x_o,y_o) \)

[Sk_Anonymous]

"davidedesantis":

il professore mi ha detto per aiutarmi che si può utilizzare l'equazione di una retta e sostituirla alla funzione ma non ho capito moltissimo cosa intendeva...

Supponiamo di avere una funzione di due variabili $z=f(x,y)$ definita almeno in un intorno del punto $(x_0,y_0)$. Facciamo ora tendere $(x,y)->(x_0,y_0)$. Domanda: in quanti modi possibili $(x,y)$ può tendere a $(x_0,y_0)$?
Risposta: infiniti. Infatti, essendo la funzione definita su un sottoinsieme di $RR^2$, si verifica che "puoi fare avvicinare la coppia $(x,y)$ alla coppia $(x_0,y_0)$ lungo infinite direzioni". Ovviamente, se $lim_((x,y)->(x_0,y_0)) f(x,y)=l$, $l$ dovrà essere indipendente da tale direzione, per definizione.
Quindi, se tu riuscissi a dimostrare che esistono almeno due curve tali che la funzione ad esse ristretta ammette limiti differenti per $(x,y)->(x_0,y_0)$, allora potrai concludere che il limite non esiste.
Spero di aver chiarito il tuo dubbio.

[Seneca1]

Per calcolare il primo limite potresti usare le coordinate polari.

[Quinzio]

"davidedesantis":Come si fa ad usare la definizione di limite di una funzione di due variabili per verificare il limite di una data funzione tipo:

\(\displaystyle lim \)
\(\displaystyle (x,y) \)\(\displaystyle \rightarrow \)\(\displaystyle (0,0) \) \(\displaystyle \frac{x^4+y^4}{x^2+y^2}=0 \)

Ovvero come posso trovare il \(\displaystyle \delta? \)

Puoi anche maggiorare la funzione, ovvero:
$(x^4+y^4)/(x^2+y^2) \le (x^4+2x^2y^2+y^4)/(x^2+y^2) = (x^2+y^2) $

Quindi per ogni $\epsilon$ adesso sai trovare un $\delta$ t.c. in un intorno di raggio $< \delta$, $f(x,y)<\epsilon$. E questa a maggior ragione è vero per la funzione di partenza.