Verificare l’esistenza di limite di successione ricorsiva
Dire se esiste e calcolare il limite della successione definita come
$a_(n+1)=-1/2(a_n+3/a_n)$ con $a_0$ diverso da zero. Se non esiste calcolarne massimo e minimo limite.
Non ho la più pallida idea di come partire, ho provato ad utilizzare la disuguaglianza tra media aritmetica e media geometrica ottenendo che $-sqrt(3)>-1/2(a_n+3/a_n)$ ma non ho idea di come andare avanti anche perché nelle soluzioni mi dice che il massimo limite è $sqrt(3)$ mentre il minimo limite è $-sqrt(3)$ che mi sembra impossibile dato che la successione mi viene sempre minore di $-sqrt(3)$
$a_(n+1)=-1/2(a_n+3/a_n)$ con $a_0$ diverso da zero. Se non esiste calcolarne massimo e minimo limite.
Non ho la più pallida idea di come partire, ho provato ad utilizzare la disuguaglianza tra media aritmetica e media geometrica ottenendo che $-sqrt(3)>-1/2(a_n+3/a_n)$ ma non ho idea di come andare avanti anche perché nelle soluzioni mi dice che il massimo limite è $sqrt(3)$ mentre il minimo limite è $-sqrt(3)$ che mi sembra impossibile dato che la successione mi viene sempre minore di $-sqrt(3)$
Risposte
Intanto si vede subito che la successione oscilla da un valore positivo a un valore negativo e poi di nuovo positivo.
Cosa vuol dire che ti viene sempre minore di $-sqrt 3$ ?
Hai provato a calcolare i primi 10 elementi partendo da un valore a caso, che so, 1, o 2 ?
Cosa vuol dire che ti viene sempre minore di $-sqrt 3$ ?
Hai provato a calcolare i primi 10 elementi partendo da un valore a caso, che so, 1, o 2 ?
Io dicevo perché in generale $sqrt(ab)<(a+b)/2$ quindi da qui al posto di $a$ metto $a_n$ al posto di b metto $3/a_n$ ma forse vale solo quando a,b sono postivi? Come faccio a dimostrare per bene che oscilla quindi? Si hai ragione ho fatto una cavolata
"ciaomammalolmao":
forse vale solo quando a,b sono positivi?
Sì. Ma prova a distinguere $a_n > 0 $ e $a_n < 0 $, cosa accade?
Se $a_n > 0 $ si ha $(a_n + 3/a_n)/2 > \sqrt3 \implies a_{n + 1} = - (a_n + 3/a_n)/2 < - \sqrt3 $
D'altronde se $a_n < 0 $ si ha $ a_{n + 1} = -1/2(a_n + 3/a_n) = (- a_n - 3/a_n)/2 > \sqrt3 $
Attenzione che si ha $a_1 > 0 $ se $a_0 < 0 $ (come valore comodo per vedere la situazione puoi assumere ad esempio $a_0 = - 3 $), mentre al contrario si ha $a_1 < 0 $ se $a_0 > 0 $ (come valore comodo per vedere la situazione puoi assumere ad esempio $a_0 = 3 $). Quindi la successione oscilla.
Ok credo di aver capito grazie, e per dire che $sqrt(3)$ e $-sqrt(3)$ sono proprio massimo e minimo limite ?
Perdonami non ho capito cosa devo guardare. Mi è chiaro che la successione passa da stare sotto -radice di 3 a stare sopra radice di tre, ma come dimostro che questi valori sono proprio massimo e minimo limite della successione?
Qual è la definizione di limite superiore e di limite inferiore?
Prova a dare un'occhiata ad esempio qui:
https://it.wikipedia.org/wiki/Limite_superiore_e_limite_inferiore
(il disegno ivi riportato è simile a quello della successione in esame, ma è ingrandito e quindi molto più chiaro).
Attenzione che non necessariamente il sup e l'inf di un insieme devono appartenere all'insieme:
[tex]\limsup_{n \to +\infty} a_n = \sqrt3[/tex]
[tex]\liminf_{n \to +\infty} a_n = - \sqrt3[/tex]
Prova a dare un'occhiata ad esempio qui:
https://it.wikipedia.org/wiki/Limite_superiore_e_limite_inferiore
(il disegno ivi riportato è simile a quello della successione in esame, ma è ingrandito e quindi molto più chiaro).
Attenzione che non necessariamente il sup e l'inf di un insieme devono appartenere all'insieme:
[tex]\limsup_{n \to +\infty} a_n = \sqrt3[/tex]
[tex]\liminf_{n \to +\infty} a_n = - \sqrt3[/tex]
Abbiamo messo insieme tanti indizi, ossia che la successione oscilla, avendo l'estratta degli elementi di posto pari e quella degli elementi di posto dispari necessariamente di segni opposti, e che le estratte sono una minore di $-sqrt(3)$ e l'altra maggiore di $sqrt(3)$.
Vediamo se riesce di dire qualcosa in più.
Se si parte da $a_0 >0$ (lo stesso discorso vale per $a_0 < 0$, ma a ruoli invertiti), l'estratta di posto pari è positiva e quella di posto dispari negativa, i.e. $a_{2n+1} < 0 < a_{2n}$ per ogni $n\in NN$ (questo è semplice, si prova per induzione sfruttando la ricorrenza).
Da:
\[
\begin{split}
a_{2n+2} &= -\frac{1}{2}\ \left( a_{2n+1} + \frac{3}{a_{2n+1}}\right) \\
a_{2n+1} &= -\frac{1}{2}\ \left( a_{2n} + \frac{3}{a_{2n}}\right)
\end{split}
\]
si trae:
\[
\begin{split}
a_{2n+2} &= -\frac{1}{2}\ \left[ -\frac{1}{2}\ \left( a_{2n} + \frac{3}{a_{2n}}\right) + \frac{3}{-\frac{1}{2}\ \left( a_{2n} + \frac{3}{a_{2n}}\right)}\right]\\
&= \frac{1}{4\left( a_{2n} + \frac{3}{a_{2n}}\right)}\ \left[ \left( a_{2n} + \frac{3}{a_{2n}}\right) ^2+ 12\right]
\end{split}
\]
e si ha $a_{2n+2}< a_{2n}$ non appena:
\[
\begin{split}
&\frac{1}{4\left( a_{2n} + \frac{3}{a_{2n}}\right)}\ \left[ \left( a_{2n} + \frac{3}{a_{2n}}\right) ^2+ 12\right] < a_{2n} \quad \Leftrightarrow \\
&\Leftrightarrow \quad \left( a_{2n} + \frac{3}{a_{2n}}\right) ^2+ 12 < 4a_{2n}\ \left( a_{2n} + \frac{3}{a_{2n}}\right) \quad \Leftrightarrow \\
&\Leftrightarrow \quad a_{2n}^2 + 18 + \frac{9}{a_{2n}^2} < 4a_{2n}^2 + 12 \quad \Leftrightarrow\\
&\Leftrightarrow \quad a_{2n}^2 - 2 - \frac{3}{a_{2n}^2} > 0 \quad \Leftrightarrow\\
&\Leftrightarrow \quad \left( a_{2n} - \frac{3}{a_{2n}}\right)\ \underbrace{\left(a_{2n} + \frac{1}{a_{2n}}\right)}_{> 0 \text{ per ogni } n} > 0 \quad \Leftrightarrow\\
&\Leftrightarrow \quad a_{2n} - \frac{3}{a_{2n}} > 0 \quad \Leftrightarrow\\
&\Leftrightarrow \quad \frac{a_{2n}^2 - 3}{\underbrace{a_{2n}}_{> 0 \text{ per ogni } n}} > 0 \quad \Leftrightarrow\\
&\Leftrightarrow \quad a_{2n}^2 - 3 > 0 \quad \Leftrightarrow\\
&\Leftrightarrow \quad a_{2n} > \sqrt{3}
\end{split}
\]
che è sempre vera per quanto detto sopra; quindi la $(a_{2n})$ è strettamente decrescente e regolare, anzi addirittura convergente perché $(a_{2n})$ è limitata inferiormente.
Detto $\Lambda$ il $lim a_{2n}$, esso deve essere $>= sqrt(3)$ e soddisfare l'equazione di punto fisso associata alla ricorrenza che determina la successione estratta, cioè:
\[
\Lambda = \frac{1}{4\left( \Lambda + \frac{3}{\Lambda}\right)}\ \left[ \left( \Lambda + \frac{3}{\Lambda}\right) ^2+ 12\right]
\]
ossia:
\[
\left( \Lambda - \frac{3}{\Lambda}\right)\ \left(\Lambda + \frac{1}{\Lambda}\right) > 0
\]
da cui necessariamente $\Lambda = \sqrt{3}$.
Allo stesso modo si ragiona per provare che $(a_{2n+1})$ è strettamente crescente e convergente verso $lambda = -sqrt(3)$.
Rimane da provare che \(\Lambda = \operatorname{maxlim} a_n\) e \(\lambda = \operatorname{minlim} a_n\).
Sia $(a_(k_n))$ un'estratta qualsiasi da $(a_n)$ che converga ad un valore $l$.
La successione di indici $(k_n)$ non può contenere infiniti indici pari ed infiniti indici dispari. Se, per assurdo, così fosse, le successioni estratte da questa sfruttando gli indici pari e quelli dispari dovrebbero convergere entrambe ad $l$; ma ciò è assurdo, perché queste estratte sarebbero anche estratte da $(a_{2n})$ ed $(a_(2n+1))$ e perciò dovrebbe risultare $sqrt(3) = l = -sqrt(3)$ per unicità del limite.
Ne viene che $(k_n)$ contiene:
Vediamo se riesce di dire qualcosa in più.
Se si parte da $a_0 >0$ (lo stesso discorso vale per $a_0 < 0$, ma a ruoli invertiti), l'estratta di posto pari è positiva e quella di posto dispari negativa, i.e. $a_{2n+1} < 0 < a_{2n}$ per ogni $n\in NN$ (questo è semplice, si prova per induzione sfruttando la ricorrenza).
Da:
\[
\begin{split}
a_{2n+2} &= -\frac{1}{2}\ \left( a_{2n+1} + \frac{3}{a_{2n+1}}\right) \\
a_{2n+1} &= -\frac{1}{2}\ \left( a_{2n} + \frac{3}{a_{2n}}\right)
\end{split}
\]
si trae:
\[
\begin{split}
a_{2n+2} &= -\frac{1}{2}\ \left[ -\frac{1}{2}\ \left( a_{2n} + \frac{3}{a_{2n}}\right) + \frac{3}{-\frac{1}{2}\ \left( a_{2n} + \frac{3}{a_{2n}}\right)}\right]\\
&= \frac{1}{4\left( a_{2n} + \frac{3}{a_{2n}}\right)}\ \left[ \left( a_{2n} + \frac{3}{a_{2n}}\right) ^2+ 12\right]
\end{split}
\]
e si ha $a_{2n+2}< a_{2n}$ non appena:
\[
\begin{split}
&\frac{1}{4\left( a_{2n} + \frac{3}{a_{2n}}\right)}\ \left[ \left( a_{2n} + \frac{3}{a_{2n}}\right) ^2+ 12\right] < a_{2n} \quad \Leftrightarrow \\
&\Leftrightarrow \quad \left( a_{2n} + \frac{3}{a_{2n}}\right) ^2+ 12 < 4a_{2n}\ \left( a_{2n} + \frac{3}{a_{2n}}\right) \quad \Leftrightarrow \\
&\Leftrightarrow \quad a_{2n}^2 + 18 + \frac{9}{a_{2n}^2} < 4a_{2n}^2 + 12 \quad \Leftrightarrow\\
&\Leftrightarrow \quad a_{2n}^2 - 2 - \frac{3}{a_{2n}^2} > 0 \quad \Leftrightarrow\\
&\Leftrightarrow \quad \left( a_{2n} - \frac{3}{a_{2n}}\right)\ \underbrace{\left(a_{2n} + \frac{1}{a_{2n}}\right)}_{> 0 \text{ per ogni } n} > 0 \quad \Leftrightarrow\\
&\Leftrightarrow \quad a_{2n} - \frac{3}{a_{2n}} > 0 \quad \Leftrightarrow\\
&\Leftrightarrow \quad \frac{a_{2n}^2 - 3}{\underbrace{a_{2n}}_{> 0 \text{ per ogni } n}} > 0 \quad \Leftrightarrow\\
&\Leftrightarrow \quad a_{2n}^2 - 3 > 0 \quad \Leftrightarrow\\
&\Leftrightarrow \quad a_{2n} > \sqrt{3}
\end{split}
\]
che è sempre vera per quanto detto sopra; quindi la $(a_{2n})$ è strettamente decrescente e regolare, anzi addirittura convergente perché $(a_{2n})$ è limitata inferiormente.
Detto $\Lambda$ il $lim a_{2n}$, esso deve essere $>= sqrt(3)$ e soddisfare l'equazione di punto fisso associata alla ricorrenza che determina la successione estratta, cioè:
\[
\Lambda = \frac{1}{4\left( \Lambda + \frac{3}{\Lambda}\right)}\ \left[ \left( \Lambda + \frac{3}{\Lambda}\right) ^2+ 12\right]
\]
ossia:
\[
\left( \Lambda - \frac{3}{\Lambda}\right)\ \left(\Lambda + \frac{1}{\Lambda}\right) > 0
\]
da cui necessariamente $\Lambda = \sqrt{3}$.
Allo stesso modo si ragiona per provare che $(a_{2n+1})$ è strettamente crescente e convergente verso $lambda = -sqrt(3)$.
Rimane da provare che \(\Lambda = \operatorname{maxlim} a_n\) e \(\lambda = \operatorname{minlim} a_n\).
Sia $(a_(k_n))$ un'estratta qualsiasi da $(a_n)$ che converga ad un valore $l$.
La successione di indici $(k_n)$ non può contenere infiniti indici pari ed infiniti indici dispari. Se, per assurdo, così fosse, le successioni estratte da questa sfruttando gli indici pari e quelli dispari dovrebbero convergere entrambe ad $l$; ma ciò è assurdo, perché queste estratte sarebbero anche estratte da $(a_{2n})$ ed $(a_(2n+1))$ e perciò dovrebbe risultare $sqrt(3) = l = -sqrt(3)$ per unicità del limite.
Ne viene che $(k_n)$ contiene:
- [*:36n47wg8] un numero finito di indici dispari: in tal caso $l = sqrt(3)$ perché $(a_{k_n})$ al limite si comporta come $(a_(2n))$;
[/*:m:36n47wg8]
[*:36n47wg8] un numero finito di indici pari: in questo caso $l=-sqrt(3)$, perché $(a_(k_n))$ al limite si comporta come $(a_(2n+1))$.[/*:m:36n47wg8][/list:u:36n47wg8]
Dunque le possibili estratte convergenti da $(a_n)$ hanno due soli possibili limiti, cioè $\Lambda = sqrt(3)$ e $\lambda = - sqrt(3)$, e dalle proprietà del massimo e del minimo limite[nota]Intendo il noto teorema che asserisce l'uguaglianza tra \(\operatorname{maxlim} a_n\) [risp. \(\operatorname{minlim} a_n\)] ed il massimo [risp. minimo] tra i limiti di tutte le possibili estratte convergenti da $(a_n)$.
[/nota] segue quanto si vuole.
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