Verificare la non convergenza di questa serie
Avrei bisogno di un aiuto per quanto riguarda la risoluzione di quest'esercizio :
- Verificare (utilizzando la condizione necessaria per la convergenza) che la seguente serie NON converge :
- $sum_{n=1}^\infty (-1)^n * n * sin(1/n)$
Quindi secondo la condizione necessaria per la convergenza, facendo il limite per $n rarr \infty$ del termine generale della serie dovrei ottenere un numero diverso da zero (in quanto la serie NON converge). Il problema è che mi trovo di fronte ad un limite un pò complesso. Chi può darmi delucidazioni a riguardo ?
Grazie.
- Verificare (utilizzando la condizione necessaria per la convergenza) che la seguente serie NON converge :
- $sum_{n=1}^\infty (-1)^n * n * sin(1/n)$
Quindi secondo la condizione necessaria per la convergenza, facendo il limite per $n rarr \infty$ del termine generale della serie dovrei ottenere un numero diverso da zero (in quanto la serie NON converge). Il problema è che mi trovo di fronte ad un limite un pò complesso. Chi può darmi delucidazioni a riguardo ?
Grazie.
Risposte
basta calcolare il limite
$lim_(n rarr infty) nsin(1/n)$
che non mi sembra difficilissimo, anzi è notevole
$lim_(n rarr infty) nsin(1/n)$
che non mi sembra difficilissimo, anzi è notevole
Allora, io ho svolto così il limite :
$lim_{n \to \infty} n*sin(1/n) = \infty * 0 $ che è una Forma Indeterminata
Il problema è che non riesco a trovare un modo per risolvere questa forma indeterminata !!
$lim_{n \to \infty} n*sin(1/n) = \infty * 0 $ che è una Forma Indeterminata
Il problema è che non riesco a trovare un modo per risolvere questa forma indeterminata !!
ti puoi ricondurre ad un limite notevole facendo la sostituzione $1/n=x$
"Matematico":
Allora, io ho svolto così il limite :
$lim_{n \to \infty} n*sin(1/n) = \infty * 0 $ che è una Forma Indeterminata
Il problema è che non riesco a trovare un modo per risolvere questa forma indeterminata !!
Se ti dico $n*sin(1/n)=(sin(1/n))/(1/n)$, la strada la trovi da solo o devo continuare?
il limite è 1, non è una forma indeterminata, la funzione $sinx$ si comporta come $x$ in questo caso la funzione $sin$ si comporta come $\frac{1}{n}$ e quindi il limite è 1.
"luca.barletta":
ti puoi ricondurre ad un limite notevole facendo la sostituzione $1/n=x$
Ok, il limite notevole è : $lim_{n \to \infty} (sen(x)) / x = 1 $
Quindi il limite in questione vale 1.
Grazie.
"9876543210":
il limite è 1, non è una forma indeterminata, la funzione $sinx$ si comporta come $x$ in questo caso la funzione $sin$ si comporta come $\frac{1}{n}$ e quindi il limite è 1.
Ok... ora la domanda "difficile": come si comporta la successione degli addendi $(-1)^n*n*sin(1/n)$?
Ricorda che in questo caso la serie avrebbe potuto convergere solo se il lim fosse stato zero!!!
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