Verificare la monotonia di $\sin\frac{1}{n}$
Ciao, il libro Marcellini/Sbordone chiede di verificare la monotonia della successione
\[
a_n=\sin\frac{1}{n}
\]
Ho provato a leggere questa discussione che però riguarda la funzione omologa nell'intorno di zero
https://www.matematicamente.it/forum/vi ... p?t=130545
Se provo ad applicare la definizione di successione monotona decrescente ottengo
\[
\sin\frac{1}{n+1}\leq\sin\frac{1}{n}
\]
Con le formule di prostaferesi si complica tutto. Avete un suggerimento?
\[
a_n=\sin\frac{1}{n}
\]
Ho provato a leggere questa discussione che però riguarda la funzione omologa nell'intorno di zero
https://www.matematicamente.it/forum/vi ... p?t=130545
Se provo ad applicare la definizione di successione monotona decrescente ottengo
\[
\sin\frac{1}{n+1}\leq\sin\frac{1}{n}
\]
Con le formule di prostaferesi si complica tutto. Avete un suggerimento?
Risposte
Hai che $n\in\mathbb{N}$, pertanto $\frac{1}{n}$ a quale intervallo (particolarmente utile, in questo caso) appartiene per ogni $n\in\mathbb{N}$?
Più in generale, se componi una funzione decrescente con una crescente, cosa ottieni?
Ciao, ci sto pensando da qualche giorno con i suggerimenti. Per quanto riguarda l'uso degli intervalli, partendo dalla relazione
\[
\forall x> 0, 0<\sin(x)
sono giunto alle diseguaglianze:
\[
0<\sin\frac{1}{n}<\frac{1}{n}, \forall n\geq 1
\]
e quindi
\[
0<\sin\frac{1}{n+1}<\frac{1}{n+1}<\frac{1}{n}< 1, \forall n\geq 1
\]
ora dovrei collocare $\sin\frac{1}{n}$ a destra di $\sin\frac{1}{n+1}$ ma non so come fare.
Per quanto riguarda la composizione so che $a_n=frac{1}{n}$ è decrescente ma la funzione seno non è monotona. Come si procede in questo modo?
\[
\forall x> 0, 0<\sin(x)
sono giunto alle diseguaglianze:
\[
0<\sin\frac{1}{n}<\frac{1}{n}, \forall n\geq 1
\]
e quindi
\[
0<\sin\frac{1}{n+1}<\frac{1}{n+1}<\frac{1}{n}< 1, \forall n\geq 1
\]
ora dovrei collocare $\sin\frac{1}{n}$ a destra di $\sin\frac{1}{n+1}$ ma non so come fare.
Per quanto riguarda la composizione so che $a_n=frac{1}{n}$ è decrescente ma la funzione seno non è monotona. Come si procede in questo modo?
Il seno non è monotòno in tutto il suo insieme di definizione, tuttavia è monotòno in alcuni intervalli; hai che $0< \frac{1}{n} \leq 1$ per ogni $n\in\mathbb{N}$, pertanto $\frac{1}{n}\in(0,1]$ per ogni $n\in\mathbb{N}$.
E hai che $(0,1] \subset ...$
E hai che $(0,1] \subset ...$
OK grazie
Prego, tuttavia non capisco se mi sono spiegato e quindi se la riflessione è giunta ad una conclusione: puoi rispondere all'implicita domanda dell'altro post $(0,1] \subset ...$?
Essendo l'immagine della $\frac{1}{n}$ contenuta in $[0,\frac{\pi}{2}]$ è possibile la composizione e la composta è decrescente essendo la successione decrescente e la funzione crescente.
"tetravalenza":
Ciao, il libro Marcellini/Sbordone chiede di verificare la monotonia della successione
\[
a_n=\sin\frac{1}{n}
\]
Ho provato a leggere questa discussione che però riguarda la funzione omologa nell'intorno di zero
https://www.matematicamente.it/forum/vi ... p?t=130545
Se provo ad applicare la definizione di successione monotona decrescente ottengo
\[
\sin\frac{1}{n+1}\leq\sin\frac{1}{n}
\]
Con le formule di prostaferesi si complica tutto. Avete un suggerimento?
$1/n$ con $ninNN$ vale al massimo 1 e tende asintoticamente a 0. $[0,1]$ è contenuto in $[0,\pi/2]$, dove la funzione seno é strettamente crescente, e quindi la successione $1/n$ é strettamente decrescente
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo