Verificare disuguaglianza
Stasera non vi do tregua!! 
Ho trovato un esercizio da cui non riesco a liberarmi:
Dimostrare che per ogni $x>=0$ vale la seguente disuguaglianza:
$e^x-cos(x)-x >= 0
Allora calcolo la derivata prima che viene $e^x+sen(x)-1$. Non mi è di grande aiuto. Vedo che succede con la derivata seconda: $e^x+cos(x)$. Ne studio il segno:
$e^x>=-cos(x)$. Ora io so che il coseno è una funzione limitata tra $-1$ e $1$ quindi "alla peggio" io avrò $e^x>=1$ che è verificata per ogni $x>=0$. Quindi la derivata seconda è sempre positiva e in 0 ho un punto di minimo. Quindi la disuguaglianza di partenza sarebbe verificata. Dico "sarebbe" perchè il ragionamento, oltre al fatto di non sapere quanto possa filare, non è molto rigoroso. Ergo, al solito, mi appello a voi. Come l'avreste fatto?
Ho trovato un esercizio da cui non riesco a liberarmi:
Dimostrare che per ogni $x>=0$ vale la seguente disuguaglianza:
$e^x-cos(x)-x >= 0
Allora calcolo la derivata prima che viene $e^x+sen(x)-1$. Non mi è di grande aiuto. Vedo che succede con la derivata seconda: $e^x+cos(x)$. Ne studio il segno:
$e^x>=-cos(x)$. Ora io so che il coseno è una funzione limitata tra $-1$ e $1$ quindi "alla peggio" io avrò $e^x>=1$ che è verificata per ogni $x>=0$. Quindi la derivata seconda è sempre positiva e in 0 ho un punto di minimo. Quindi la disuguaglianza di partenza sarebbe verificata. Dico "sarebbe" perchè il ragionamento, oltre al fatto di non sapere quanto possa filare, non è molto rigoroso. Ergo, al solito, mi appello a voi. Come l'avreste fatto?
Risposte
Trucco.
[tex]e^x \ge x+\cos x[/tex]
[tex]\cos x \le 1 \Rightarrow x+\cos x \le x+1[/tex]
Ma allora se dimostri che [tex]e^x \ge x+1[/tex], segue la tesi che cerchi.
[tex]e^x \ge x+\cos x[/tex]
[tex]\cos x \le 1 \Rightarrow x+\cos x \le x+1[/tex]
Ma allora se dimostri che [tex]e^x \ge x+1[/tex], segue la tesi che cerchi.
Ok, sono ufficialmente una sciocca!XD Grazie mille caro! 
Ahah! È solo questione di occhio 
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