Verificare disequazione con Lagrange
Salve a tutti,
qualcuno mi può dare qualche dritta su come si imposta un esercizio che chiede di dimostrare una disequazione utilizzando il Teorema di Lagrange (o del valor medio)?
In particolare è due ore che sbatto la testa su questo esercizio:
Il suddetto teorema afferma che data una funzione continua in $[a,b]$ e derivabile in $(a,b)$, esiste $c in (a,b)$ tale che
La difficoltà, oltre a non sapere come applicare il teorema per dimostrare una disequazione, risiede anche nel fatto che presumo bisogna individuare una funzione $f$ sulla quale applicare Lagrange ma non saprei quale scegliere (senza tirare a caso
).
Grazie
P.S.: mi dispiace non poter nemmeno postare un inizio dell'esercizio ma non saprei veramente come prenderlo senza, ripeto, iniziarlo a caso.
qualcuno mi può dare qualche dritta su come si imposta un esercizio che chiede di dimostrare una disequazione utilizzando il Teorema di Lagrange (o del valor medio)?
In particolare è due ore che sbatto la testa su questo esercizio:
$log(1+3x)<=3x$
$AA x > -1/3$
Il suddetto teorema afferma che data una funzione continua in $[a,b]$ e derivabile in $(a,b)$, esiste $c in (a,b)$ tale che
$(f(b) - f(a))/(b-a) = f'(c)$
La difficoltà, oltre a non sapere come applicare il teorema per dimostrare una disequazione, risiede anche nel fatto che presumo bisogna individuare una funzione $f$ sulla quale applicare Lagrange ma non saprei quale scegliere (senza tirare a caso
).Grazie
P.S.: mi dispiace non poter nemmeno postare un inizio dell'esercizio ma non saprei veramente come prenderlo senza, ripeto, iniziarlo a caso.
Risposte
"BinaryMind":
$ log(1+3x)<=3x $
$ AA x > -1/3 $
Il suddetto teorema afferma che data una funzione continua in $ [a,b] $ e derivabile in $ (a,b) $, esiste $ c in (a,b) $ tale che
$ (f(b) - f(a))/(b-a) = f'(c) $
Allora iniziamo notando che le ipotesi del teorema sono soddisfatte in quanto le nostre due funzioni sono composizioni di funzioni continue e derivabili su $(-1/3,+infty)$ ovvero sull'insieme di massima definizione delle funzioni.
Detto questo conviene portare i due termini allo stesso membro e lavorare sulla funzione $f(x):=log(1+3x)-3x$ con $f: (-1/3,+infty) \to RR$.
Dobbiamo dunque provare che $f<=0$ su $(-1/3,+infty)$
Tu sai che:
$ (f(b) - f(a))/(b-a) = f'(c) $
e che $f'(c)=3/(1+3c)-3$ la quale è positiva su $(-1/3,0)$, negativa su $(0,+infty)$ e nulla in $c=0$.
quindi
$ (f(b) - f(a))/(b-a)>0$ per ogni $a,b$ su $(-1/3,0)$ $rArr$ funzione monotona strettamente crescente
$ (f(b) - f(a))/(b-a)<0$ per ogni $a,b$ su $(0,+infty)$ $rArr$ funzione monotona strettamente decrescente
e presenta in $c=0$ un massimo globale in cui $f(c)=0$.
Detto questo si può affermare che la funzione è sempre negativa tranne in x=0 dove si ha f(x)=0.
Si è fatto davvero tardi quindi spero di non aver scritto boiate
La prima parte va bene, ma l'ultima parte non è proprio il massimo.
Ora faccio vedere come si può concludere.
Posto \(f(x):=\ln (1+3x) -3x\), si è stabilito che \(f^\prime (x)\geq 0\) [risp. \(\leq 0\)] per \(-1/3
Ora, supponiamo \(x>0\): applicando Lagrange nell'intervallo \([0,x]\), si può affermare che esiste \(\xi \in [0,x]\) tale che:
\[
\frac{\ln (1+3x) - 3x}{x} = \frac{f(x)-f(0)}{x-0} = f^\prime (\xi) = \frac{3}{1+3\xi} -3 \leq 0
\]
e dal confronto del primo e dell'ultimo termine segue immediatamente \(\ln (1+3x) - 3x \leq 0\) per \(x>0\).
D'altro canto, supponiamo \(-1/3< x<0\): applicando Lagrange nell'intervallo \([x,0]\), si trova uno \(\xi \in [x,0]\) tale che:
\[
\frac{\ln (1+3x) - 3x}{x} = \frac{f(0)-f(x)}{0-x} = f^\prime (\xi) = \frac{3}{1+3\xi} -3 \geq 0
\]
e, confrontando il primo e l'ultimo membro, si ottiene \(\ln (1+3x)-3x\leq 0\) anche per \(-1/3
Ora faccio vedere come si può concludere.
Posto \(f(x):=\ln (1+3x) -3x\), si è stabilito che \(f^\prime (x)\geq 0\) [risp. \(\leq 0\)] per \(-1/3
Ora, supponiamo \(x>0\): applicando Lagrange nell'intervallo \([0,x]\), si può affermare che esiste \(\xi \in [0,x]\) tale che:
\[
\frac{\ln (1+3x) - 3x}{x} = \frac{f(x)-f(0)}{x-0} = f^\prime (\xi) = \frac{3}{1+3\xi} -3 \leq 0
\]
e dal confronto del primo e dell'ultimo termine segue immediatamente \(\ln (1+3x) - 3x \leq 0\) per \(x>0\).
D'altro canto, supponiamo \(-1/3< x<0\): applicando Lagrange nell'intervallo \([x,0]\), si trova uno \(\xi \in [x,0]\) tale che:
\[
\frac{\ln (1+3x) - 3x}{x} = \frac{f(0)-f(x)}{0-x} = f^\prime (\xi) = \frac{3}{1+3\xi} -3 \geq 0
\]
e, confrontando il primo e l'ultimo membro, si ottiene \(\ln (1+3x)-3x\leq 0\) anche per \(-1/3
Grazie mille, molto chiaro
Un'unica domanda:
Non sarebbe più corretto affermare che "esiste \( \xi \in (0,x) \)" anzichè "esiste \( \xi \in [0,x] \)"?
In questo modo, sappiamo che la derivata è nulla in 0 e quindi potremmo concludere che
\[ \frac{\ln (1+3x) - 3x}{x} = \frac{3}{1+3\xi} -3<0 \]
(minore stretto anzichè minore uguale)
E lo stesso discorso anche nell'altro caso.
Comunque queste sono solo sottigliezze (ammesso che siano giuste
), ti ringrazio per avermi illuminato su questi esercizi
Un'unica domanda:
"gugo82":
Ora, supponiamo \( x>0 \): applicando Lagrange nell'intervallo \( [0,x] \), si può affermare che esiste \( \xi \in [0,x] \) tale che:
Non sarebbe più corretto affermare che "esiste \( \xi \in (0,x) \)" anzichè "esiste \( \xi \in [0,x] \)"?
In questo modo, sappiamo che la derivata è nulla in 0 e quindi potremmo concludere che
\[ \frac{\ln (1+3x) - 3x}{x} = \frac{3}{1+3\xi} -3<0 \]
(minore stretto anzichè minore uguale)
E lo stesso discorso anche nell'altro caso.
Comunque queste sono solo sottigliezze (ammesso che siano giuste
), ti ringrazio per avermi illuminato su questi esercizi
Beh, sì, certo.
D'altra parte, che in \(\ln (1+3x)\leq 3x\) valga la disuguaglianza stretta per \(x\neq 0\) è conseguenza immediata della stretta concavità del logaritmo (infatti, \(\phi (x):= \ln (1+3x)\) è concava e la retta di equazione \(y=3x\) è la tangente al grafico di \(\phi\) in \((0,0)\)).
Un altro modo di vedere la faccenda, sempre usando Lagrange, è il seguente.
Alla funzione \(\phi (x):= \ln (1+3x)\) è possibile applicare il teorema di Lagrange in ogni sottointervallo del suo insieme di definizione: infatti, la derivata prima:
\[
\phi^\prime (x) = \frac{3}{1+3x}
\]
è addirittura continua in \(]-1/3,\infty[\).
In particolare, fissato \(x>0\) ed applicando Lagrange in \([0,x]\) si trova:
\[
\frac{\ln (1+3x)}{x} = \frac{\phi (x)-\phi (0)}{x-0} = \phi^\prime (\xi) = \frac{3}{1+3\xi}< 3
\]
da cui segue la disuguaglianza da provare.
D'altro canto, se \(-1/3
\frac{\ln (1+3x)}{x} = \frac{\phi (0)-\phi (x)}{0-x} = \phi^\prime (\xi) = \frac{3}{1+3\xi}> 3
\]
e di qui si riottiene la disuguaglianza da provare (perché la moltiplicazione m.a.m. per \(x\) inverte la disuguaglianza).
D'altra parte, che in \(\ln (1+3x)\leq 3x\) valga la disuguaglianza stretta per \(x\neq 0\) è conseguenza immediata della stretta concavità del logaritmo (infatti, \(\phi (x):= \ln (1+3x)\) è concava e la retta di equazione \(y=3x\) è la tangente al grafico di \(\phi\) in \((0,0)\)).
Un altro modo di vedere la faccenda, sempre usando Lagrange, è il seguente.
Alla funzione \(\phi (x):= \ln (1+3x)\) è possibile applicare il teorema di Lagrange in ogni sottointervallo del suo insieme di definizione: infatti, la derivata prima:
\[
\phi^\prime (x) = \frac{3}{1+3x}
\]
è addirittura continua in \(]-1/3,\infty[\).
In particolare, fissato \(x>0\) ed applicando Lagrange in \([0,x]\) si trova:
\[
\frac{\ln (1+3x)}{x} = \frac{\phi (x)-\phi (0)}{x-0} = \phi^\prime (\xi) = \frac{3}{1+3\xi}< 3
\]
da cui segue la disuguaglianza da provare.
D'altro canto, se \(-1/3
\frac{\ln (1+3x)}{x} = \frac{\phi (0)-\phi (x)}{0-x} = \phi^\prime (\xi) = \frac{3}{1+3\xi}> 3
\]
e di qui si riottiene la disuguaglianza da provare (perché la moltiplicazione m.a.m. per \(x\) inverte la disuguaglianza).
"gugo82":
La prima parte va bene, ma l'ultima parte non è proprio il massimo.
Sicuramente la tua soluzione è notevolmente più elegante ma nella mia cosa c'è di contestabile di preciso?
Non lo dico per lamentarmi ma per correggermi
Semplicemente non hai dimostrato la disuguaglianza assegnata, ma qualcos'altro.
"gugo82":
Semplicemente non hai dimostrato la disuguaglianza assegnata, ma qualcos'altro.
Si ma se ho dimostrato che ha un massimo globale in x=0 dove prende il valore 0 e tutto il resto della funzione ha quindi valori minori di zero non equivale a dimostrare che $f(x)<=0$? e quindi la nostra disuguaglianza?
Quale funzione ha un massimo in \(0\)?
La funzione di due variabili:
\[
\frac{f(b)-f(a)}{b-a}
\]
non può avere un massimo in \(0\) semplicemente perché è una funzione di due variabili, non di una sola.
Quindi ti tocca argomentare meglio la conclusione, in ogni caso.
La funzione di due variabili:
\[
\frac{f(b)-f(a)}{b-a}
\]
non può avere un massimo in \(0\) semplicemente perché è una funzione di due variabili, non di una sola.
Quindi ti tocca argomentare meglio la conclusione, in ogni caso.
Scusami forse mi sono espresso male. Io mi riferivo alla funzione $f(x):=log(1+3x)-3x$, continua derivabile sul suo dominio.
Io non ho fatto altro che provare ha la funzione ha un massimo globale in x=0 dove prende il valore 0.
Quindi tutti i valori della funzione saranno minori di 0 tranne in $x=0$ dive si ha $f(x)=0$.
Quindi ho provato che $f(x)<=0$ su $(-1/3,+infty)$ che altro non è che la nostra disequazione iniziale.
Importante per il mio ragionamento è sicuramente la continuità della funzione la quale però è già richiesta dalle ipotesi del teorema usato ed ampiamente soddisfatta dalla funzione in questione.
Io non ho fatto altro che provare ha la funzione ha un massimo globale in x=0 dove prende il valore 0.
Quindi tutti i valori della funzione saranno minori di 0 tranne in $x=0$ dive si ha $f(x)=0$.
Quindi ho provato che $f(x)<=0$ su $(-1/3,+infty)$ che altro non è che la nostra disequazione iniziale.
Importante per il mio ragionamento è sicuramente la continuità della funzione la quale però è già richiesta dalle ipotesi del teorema usato ed ampiamente soddisfatta dalla funzione in questione.
Vabbé... Ma allora Lagrange che c'entra?
Se fai tutto con lo studio della funzione non usi Lagrange nel senso vero e proprio.
Se fai tutto con lo studio della funzione non usi Lagrange nel senso vero e proprio.
Appunto per questo ho detto che la tua soluzione è certamente migliore della mia. Ma la mia non penso sia proprio sbagliata in quanto ho usato quella che è una conseguenza diretta di Lagrange perché,almeno a me, è stato insegnato che quello che viene indicato come studio di funzione altro non è che una conseguenza del teorema di Lagrange .(http://calvino.polito.it/~lucipan/mater ... -Analisi-1 Pag 140 Conseguenza 2)
Per intenderci... Tu dici che se avessi dato questa soluzione in un compito avrei perso dei punti
? Che non sarebbe stata accettata del tutto?
Per intenderci... Tu dici che se avessi dato questa soluzione in un compito avrei perso dei punti
? Che non sarebbe stata accettata del tutto?
Siamo d'accordo: le conseguenze di Lagrange sono fuori di dubbio.
Ma rimane il fatto che la tua conclusione non conclude nulla, così com'è scritta nel primo post.
Se avessi scritto la tua conclusione in maniera differente, cioé come l'hai riportata nel tuo penultimo post, allora tutto avrebbe avuto più senso. Però, in un ipotetico colloquio, in ogni caso ti avrei chiesto perché hai applicato tutt'altro per risolvere il problema, invece del teorema di Lagrange (come richiesto dalla traccia), e ti avrei chiesto di ingegnarti per trovare una soluzione con un'applicazione del teorema di Lagrange "pura".
P.S.: Non che io non ami risolvere problemi in più modi (e lo puoi vedere dalle soluzioni che ho riportato sopra); però innanzitutto ci si deve attenere alle richieste esplicite dell'esercizio, quando esse sono presenti nella traccia... Altrimenti si fa la figura di chi, per eludere una domanda, risponde tutt'altro.
Ma rimane il fatto che la tua conclusione non conclude nulla, così com'è scritta nel primo post.
Se avessi scritto la tua conclusione in maniera differente, cioé come l'hai riportata nel tuo penultimo post, allora tutto avrebbe avuto più senso. Però, in un ipotetico colloquio, in ogni caso ti avrei chiesto perché hai applicato tutt'altro per risolvere il problema, invece del teorema di Lagrange (come richiesto dalla traccia), e ti avrei chiesto di ingegnarti per trovare una soluzione con un'applicazione del teorema di Lagrange "pura".
P.S.: Non che io non ami risolvere problemi in più modi (e lo puoi vedere dalle soluzioni che ho riportato sopra); però innanzitutto ci si deve attenere alle richieste esplicite dell'esercizio, quando esse sono presenti nella traccia... Altrimenti si fa la figura di chi, per eludere una domanda, risponde tutt'altro.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo