Verificare derivazione in tutto il dominio

[barragan]

Mi trovo a dover fare il grafico qualitativo di una funzione, ma c'è qualcosa che no va nell'operazione di derivazione. In teoria il risultato di una derivazione in un punto può essere o un infinito o un numero finito (anche diverso da 0) o una forma indeterminata. Se una funzione è derivabile nel dominio allora è pure continua. Il punto è che io per vedere se una funzione è derivabile in tutti i punti del dominio (senza fare per ogni singolo punto la stessa operazione) metto $x$ generico. Per esempio se voglio vedere se la funzione $(x+3)/(x^2-7)$ è derivabile in ogni punto del suo dominio, faccio l'operazione di derivazione lasciando $x$ generico. Però il problema fondamentale è che stranamente mai una volta mi viene $+-∞$, inoltre quando mi ritrovo $n/h$, basta che lo faccio diventare $n·h$ ed ecco che ogni singola volta o mi viene $0$ o mi viene $n$ se $h$ si semplifica durante i calcoli, quindi invariabilmente mi risulta tutto sempre derivabile in ogni $x$ appartenente all'insieme di definizione, ma se ciò fosse vero allora perchè nel libro mi cita esplicitamente le possibilità di "punti $x$ dell'insieme di definizione in cui f non è continua" o "punti $x$ in cui la funzione è continua, ma non derivabile"? Io algebricamente non capisco dove sbaglio e non ho idea di come verificare la derivabilità in ogni singolo punto del dominio senza fare decine di calcoli diversi.

[donald_zeka]

Non ho capito bene cosa intendi ma non è assolutamente vero che le funzioni sono sempre derivabili nel loro dominio. $y=arcsin(x)$ non è derivabile nel suo dominio per esempio, mentre $(x+3)/(x^2-7)$ è derivabile nel suo dominio.

[barragan]

Okay provo a rispiegarlo in maniera più semplice che posso.
Nel momento in cui faccio $((f(x+h)-f(x))/h)$ con $h->0$ per derivare in un punto la funzione, poiché $x$ non mi risulta mai $+-∞$, mi ritrovo (se non riesco a semplificare h nel processo) sempre a fare alla fine $(f(x+h)-f(x))·h$ con $h=0$, quindi invariabilmente mi viene 0, capito?
Ora io so che una funzione risulta non derivabile nel momento in cui il risultato dell'operazione di limite non è un numero finito o nel caso in cui il limite non esiste. Poiché nessuno dei due casi mi si presenta mai, io dovrei dedurre sempre che la funzione è derivabile per quell'$x$ generico.
Cosa sbaglio?

[donald_zeka]

Sulla base di quale metodo algebrico riesci a portare la $h$ dal denominatore al numeratore?

[barragan]

Ora che ci penso mi sa che mi sono gravemente confuso tra i casi $(a/b)/c$ e $a/c$, nel primo caso posso trasformarlo in $(a/b)·c$, mentre bel secondo caso no.
Però questo implica che ogni volta che il numeratore diventa $0$ ho una forma indeterminata $0/0$, che significa che la funzione non è derivabile in quel punto, giusto?

[donald_zeka]

No, $0/0$ è una forma indeterminata non perché non si può risolvere, ma perché può fare qualsiasi cosa, può essere un numero diverso da zero , può essere zero, o può essere infinito.

[barragan]

Ah ok, quindi io posso trovare un punto non derivabile quando, trovandomi davanti ad una forma indeterminata, essa risulta essere infinito. Ma oltre l'Hopital e Taylor, c'è un modo per svolgerla che non vada oltre la conoscenza della derivate e dell'analisi qualitativa di una funzione? E se una forma indeterminata non significa la non esistenza del limite, quand'è che non esiste?

[donald_zeka]

Una funzione non è derivabile in un punto quando il limite del rapporto incrementale in quel punto o è infinito o non esiste.