Verificare definizione Limite

[Matt911]

Ciao ragazzi!
Sto avendo problemi nella verifica dei limiti tramite la definizione formale!
Ad esempio , nel seguente esercizio :

$ lim_(x -> 1) (2x^2)/(x+1) = 1 $

devo agire tramite la definizione formale, in modo tale da verificare se il p.d.a. corrisponda a 1 , in questo modo :
$ |(2x^2)/(x+1)| < epsilon $

Quindi risolvere il seguente sistema :
$ { ((2x^2)/(x+1) - 1< epsilon),( (2x^2)/(x+1) - 1 > - epsilon ):} $

Dunque, visto che $ epsilon $ è un valore prossimo a zero bisogna considerarlo un valore costante (correggetemi se sbaglio).
Pertanto , alla prima equazione del sistema mi dovrei trovare in questo modo, calcolando il m.c.m. :

$ (2x^2 - x - 1 - epsilon x - epsilon) / (x+1) < 0 $

arrivo qui.
Devo calcolarmi le soluzioni come una disequazione normale? Se si, mi trovo valori assurdi, e non riesco a trovare un intorno di 1, ovviamente intersecando i valori con la seconda disequazione...

Ringrazio in anticipo!

[Sk_Anonymous]

"Matt91":
Dunque, visto che $ epsilon $ è un valore prossimo a zero bisogna considerarlo un valore costante (correggetemi se sbaglio).

Secondo la definizione, epsilon è un QUALSIASI numero maggiore di zero, quindi non è un valore prossimo a zero, né tantomeno costante.

[Matt911]

Leggo dal libro di testo che $ epsilon $ viene definito come un valore "arbitrariamente piccolo".

[Sk_Anonymous]

"Matt91":Leggo dal libro di testo che $ epsilon $ viene definito come un valore "arbitrariamente piccolo".

"Arbitrariamente piccolo" vuol dire che epsilon è più piccolo di qualsiasi valore piccolo tu pensi, e inoltre è diverso da zero. Ciò si riassume dicendo: "per ogni epsilon maggiore di zero".

[Matt911]

"lisdap":[quote="Matt91"]Leggo dal libro di testo che $ epsilon $ viene definito come un valore "arbitrariamente piccolo".

"Arbitrariamente piccolo" vuol dire che epsilon è più piccolo di qualsiasi valore piccolo tu pensi, e inoltre è diverso da zero. Ciò si riassume dicendo: "per ogni epsilon maggiore di zero".[/quote]
Ho scritto prossimo a zero, se ho sbagliato ad esprimermi chiedo scusa.
Pertanto il problema rimane.

[Camillo]

Se risolvendo le disequazioni tu ottenessi che sono verificate per, ad esempio ( non è così, è solo un esempio) da :

$ (4- epsilon)/4 < x < (4+epsilon)/4 $ avresti proprio ottenuto un intorno di $ x=1 $.

[Matt911]

"Camillo":Se risolvendo le disequazioni tu ottenessi che sono verificate per, ad esempio ( non è così, è solo un esempio) da :

$ (4- epsilon)/4 < x < (4+epsilon)/4 $ avresti proprio ottenuto un intorno di $ x=1 $.

Grazie Camillo, a finale ho risolto, ho errato il calcolo della $ sqrt(delta) $ della risoluzione della disequazione (esce un quadrato di binomio, e purtroppo con la stanchezza non avevo intuito).
Comunque, ultima cosa.

Nel seguente limite :

$ lim (x -> +oo) (x^2-3) = +oo $
pongo $ f(x) > M $ e le soluzioni saranno :
$ x > sqrt(3 + M) $ oppure $ x < - sqrt(3+M)$.

Pertanto devo escludere la seconda soluzione perchè il limite sarà verificato per definizione formale soltanto dalla prima?
Posso regolarmi in questo modo?
PS. Per la formattazione tramite "Mathtml" non esiste l'intorno tramite le [] ? Provo , ma le [ aperte le omette...

[Camillo]

Devi ottenere un intorno di $+oo$ in cui è verificata la disequazione e infatti ottieni $x > sqrt(M+3 ) $ con ovviamnete $M>0$.
Però ottieni anche come soluzione $x < -sqrt(M+3) $ che è un intorno di $- oo $ ed è giusto che sia così perchè anche $lim_( x rarr -oo) f(x)= +oo $. OK ?

[Matt911]

Certo, mi trovo. Però dico che, visto che il p.d.a. è $+oo$ posso escludere l'intorno di $-oo$ per la verifica?

[Camillo]

Sì .

[Matt911]

Ok. Grazie mille per l'aiuto! Potete chiudere il topic!