Verificare continuità, derivabilità e differenziabilità

[Nick_931]

Salve a tutti Vorrei chiedervi se potreste corregere la risoluzione di questo esercizio. Ho una funzione e devo verificare in quali punti di $\mathbb{R}^2$ è continua, derivabile e differenziabile

La prima funzione è la seguente

$g(x;y)={(\frac{y sin(y)}{\sqrt{x^2+y^2}},if (x;y) != (0;0)),(0,if (x;y) = (0;0)):}$

1) Per verificare la continuità

$\lim_{(x,y) \to (0,0)}\frac{y sin(y)}{\sqrt{x^2+y^2}}=0$

sostituendo le variabili con le coordinate polari ottengo che il limite è zero, e quindi la funzione è continua in tutto $\mathbb{R}^2$

2) Per essere derivabili, devono esistere le derivate parziali e devono essere finite esatto? Dovendo verificare la derivabilità nel punto (0,0) devo necessariamente ricavare le derivate parziali con ilmite del rapporto incrementale esatto?

3) Ho ricavato le derivate parziali attraverso il limite del rapporto incrementale, e viene fuori che le derivate prziali sono entrambe 0! E' sufficiente per dire che le derivate sono continue e quindi la funzione è differenziabile in nel punto (0,0)? (Credo di no ma non ne sono sicuro!) Essendo probabilmente la risposta no, calcolo la differenziabilità nel punto (0,0) verificando che

$\lim_{(h,k)\to (0,0)}\frac{R(h,k)}{\sqrt{h^2+k^2}}=0$

se non ho sbagliato i calcoli viene

$\lim_{(h,k)\to (0,0)}\frac{hsin(k)}{h^2+k^2}$

ora questa è una forma indeterminata esatto?

Sia trattando il limite con le coordinate polari, che procedendo per confronto, trovo che questo limite tende a infinito, quindi concludo che non è differnziabile?

[ciampax]

Mi sembra che tu abbia proceduto bene. I ragionamenti che fai sono corretti e sì, devi seguire questa strada fino al calcolo dell'ultimo limite che hai scritto per verificare la differenziabilità.

[Nick_931]

Ti ringrazio della risposta, però non ho capito una cosa

Ho ricavato le derivate parziali attraverso il limite del rapporto incrementale, e viene fuori che le derivate prziali sono entrambe 0! E' sufficiente per dire che le derivate sono continue e quindi la funzione è differenziabile in nel punto (0,0)? Credo di no ma non ne sono sicuro!) Essendo probabilmente la risposta no, calcolo la differenziabilità nel punto (0,0) verificando che

quindi per dire che è differenziabile in quel punto basta controllare le le derivate parziali sono continue in quel punto o devo fare il limite che ho eseguito successivamente?

[Nick_931]

Cioè per controllare che le due derivate parziali siano continue in A, non posso basarmi sul dominio delle derivate parziali, ma devo fare il limite del rapporto incrementale, e verificare che i due valori finiti che trovo siano identici. Sbaglio?

[ciampax]

Ti ho risposto: se ti dico che devi seguire la strada che hai fatto per arrivare a scoprire se la funzione è differenziabile secondo te che cosa implica?

[Nick_931]

Scusami volevo essere sicuro ti ringrazio!