Verificare che una succesione di funzioni è $L^1$
buongiorno a tutti
non ho capito come fare per verificare che una successione di funzioni é in $L^1$
vi posto un esercizio così da spiegare meglio dove ho problemi
Sia data la successione di funzioni $f_n:RR_+ rarr RR$ definite da
$f_n(x)= (x^(1/2)+n^4)/(1+n^4x^2)$
come faccio a vedere che è in $L^1$?
io per prima cosa ho fatto vedere che è continua poi ho trovato che è asintotica per $x rarr oo$ a $f_n=1/(n^4x^(3/2))$ che è integrabile in $RR_+$ quindi ho concluso dicendo che $f_n$ è integrabile. giusto?
per verificare che é $L^1$ devo verificare che l'integrale è finito. Lo faccio maggiorando $f_n$?
e se avessi la serie?
non ho capito come fare per verificare che una successione di funzioni é in $L^1$
vi posto un esercizio così da spiegare meglio dove ho problemi
Sia data la successione di funzioni $f_n:RR_+ rarr RR$ definite da
$f_n(x)= (x^(1/2)+n^4)/(1+n^4x^2)$
come faccio a vedere che è in $L^1$?
io per prima cosa ho fatto vedere che è continua poi ho trovato che è asintotica per $x rarr oo$ a $f_n=1/(n^4x^(3/2))$ che è integrabile in $RR_+$ quindi ho concluso dicendo che $f_n$ è integrabile. giusto?
per verificare che é $L^1$ devo verificare che l'integrale è finito. Lo faccio maggiorando $f_n$?
e se avessi la serie?
Risposte
Ma devi dimostrare che la tua è una successione costituita da elementi di $L^1$ ?
Allora, moralmente, per ogni $n$ fissato puoi notare che la funzione, per x che tende ad infinito, si comporta come $f(x)=\frac{1}{x^{3/2}}$, che è integrabile diciamo su un intervallo del tipo $[a,+\infty]$, per $a>0$. Non hai problemi di integrabilità su altri intevalli, dunque la funzione è in $L^1$.
Allora, moralmente, per ogni $n$ fissato puoi notare che la funzione, per x che tende ad infinito, si comporta come $f(x)=\frac{1}{x^{3/2}}$, che è integrabile diciamo su un intervallo del tipo $[a,+\infty]$, per $a>0$. Non hai problemi di integrabilità su altri intevalli, dunque la funzione è in $L^1$.
"lucillina":
Ma devi dimostrare che la tua è una successione costituita da elementi di $L^1$ ?
Allora, moralmente, per ogni $n$ fissato puoi notare che la funzione, per x che tende ad infinito, si comporta come $f(x)=\frac{1}{x^{3/2}}$, che è integrabile diciamo su un intervallo del tipo $[a,+\infty]$, per $a>0$. Non hai problemi di integrabilità su altri intevalli, dunque la funzione è in $L^1$.
Sì e no... vero che si integra su ogni intervallo $[a, +infty]$, ma non vero che non si hanno problemi su altri intervalli: va studiata la convergenza su qualunque intervallo $[0, a]$ per ogni $n > 1$. (Sempre che si parli di $L^1(D)$ con $D =$ dominio di $f_n(x)$ e non di intervalli ancor più ristretti: questo miriam non lo specifica)
"Hadronen":
[quote="lucillina"]Ma devi dimostrare che la tua è una successione costituita da elementi di $L^1$ ?
Allora, moralmente, per ogni $n$ fissato puoi notare che la funzione, per x che tende ad infinito, si comporta come $f(x)=\frac{1}{x^{3/2}}$, che è integrabile diciamo su un intervallo del tipo $[a,+\infty]$, per $a>0$. Non hai problemi di integrabilità su altri intevalli, dunque la funzione è in $L^1$.
Sì e no... vero che si integra su ogni intervallo $[a, +infty]$, ma non vero che non si hanno problemi su altri intervalli: va studiata la convergenza su qualunque intervallo $[0, a]$ per ogni $n > 1$. (Sempre che si parli di $L^1(D)$ con $D =$ dominio di $f_n(x)$ e non di intervalli ancor più ristretti: questo miriam non lo specifica)[/quote]
Stavo dando per scontato che stesse parlando di $L^1(\mathbb{R}^+)$. Comunque io mi riferivo solo a mostrare che ogni elemento della successione sta il L^1, senza parlare di convergenza ! Anche perchè la domanda iniziale mi sembrava quella! Il nome del post mi suggeriva quello, ma probabilmente lei voleva riferirsi a convergenza della successione in L^1
Non credo volesse riferirsi alla convergenza della successione. Ma, per essere in $L^1(RR^+)$, $f_n(x)$ ha bisogno di essere integrabile in $RR^+$ (dunque, se vuoi, che l'integrale su $RR^+$ sia convergente... forse il termine che ho usato non è correttissimo, ma insomma... che l'integrale sia finito 
) : perché escludi ogni intervallo contenente lo $0$? Non è detto che sia integrabile lì... anzi...
) : perché escludi ogni intervallo contenente lo $0$? Non è detto che sia integrabile lì... anzi...
Ok, forse starò sbagliando qualcosa.... Ma mi sembra che ogni $f_n(x)$ sia continua in zero... Dunque, se la integri in un intervallo limitato e chiuso $[0,a]$, per ogni $a>0$, l'integrale di Riemman converge e coincide con quello di Lebesgue!
"lucillina":
Ok, forse starò sbagliando qualcosa.... Ma mi sembra che ogni $f_n(x)$ sia continua in zero... Dunque, se la integri in un intervallo limitato e chiuso $[0,a]$, per ogni $a>0$, l'integrale di Riemman converge e coincide con quello di Lebesgue!
Sì... con $n$ fissato in effetti mi sembra valido. ehehe!
Probabilmente quello avevi in mente tu implica uno studio più delicato del limite della successione in L^1 !
io chiedevo quali erano i passi da seguire per dimostrare che è L^1
cioè basta che dimostro che è continua e asintotica a una funzione integrabile?
cioè basta che dimostro che è continua e asintotica a una funzione integrabile?
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