Verificare che una funzione sia invertibile

[rikideveloper]

Buongiorno volevo chiedere su un informazione su un esercizio che sto facendo: dovrei stabilire se la funzione f(x) qui sotto è invertibile in R e poi calcolare la sua inversa:

$ f(x)=x^3+e^(2x)-5 $

Per quello che ho capito io dovrei prima verificare che sia la funzione sia biunivoca e poi in caso affermativo calcolare l'inversa? il problema è che non ho capito come fare a verificare che la funzione sia biunivoca?

[anto_zoolander]

allora.. vediamo se posso esserti utile.

$f:X->Y(X,YsubseteqRR), f:x|-> x^3+e^(2x)-5$

vogliamo verificare che:

sia iniettiva, ovvero $forallx_1,x_2inX, f(x_1)=f(x_2) => x_1=x_2$

io ci andrei così:

intanto la funzione è continua su tutto $RR$
calcolo la derivata prima $f'(x)=3x^2+2e^(2x)$ e noto che $f'(x)>0, forallx inRR$

quindi la funzione è certamente iniettiva. Infatti una funzione monotòna su un intervallo, implica che su quell'intervallo sia iniettiva. A maggior ragione se lo è strettamente.
Siccome il nostro intervallo è tutto $RR$, allora è iniettiva su tutto $RR$

ora vogliamo verificare che:

sia suriettiva, ovvero $forallyinYexistsx inX:y=f(x)$ in particolare $f(X)=Y$ ovvero che il codominio coincida con l'insieme delle immagini.
Questa è forse una maniera rocambolesca per dimostrarlo, però spero piaccia

la funzione è continua e strettamente monotòna su tutto $RR$ quindi certamente
$forallx_1,x_2inX,f(x_1)>f(x_2)=>x_1>x_2$
sicuramente non esistono $x$ tali che mi impediscano di trovare immagini. Magari possiamo vedere se all'infinito accada qualcosa.

calcolo due limiti:

$lim_(x->+infty)x^3+e^(2x)-5=+infty$

$lim_(x->-infty)x^3+e^(2x)-5=-infty$

questo mi dice che comunque io scelga $x inX$, anche molto grande(sia positivamente che negativamente), trovo sempre $yinY$

quindi la funzione è una biiezione ed è invertibile.

[rikideveloper]

Ho capito grazie della spiegazione!

[G.D.5]

"anto_zoolander":
Infatti una funzione monotòna su un intervallo, implica che su quell'intervallo sia iniettiva. A maggior ragione se lo è strettamente.

Attenzione.

Siano \( X \subseteq \mathbb{R} \), \( f \colon X \to \mathbb{R} \) e \( x_{1}, x_{2} \in X \). Allora:
1. se \( x_{1} < x_{2} \implies f(x_{1}) \leq f(x_{2}) \), si dice che \( f \) è crescente in senso lato o debolmente crescente;
2. se \( x_{1} < x_{2} \implies f(x_{1}) < f(x_{2}) \), si dice che \( f \) è crescente in senso stretto o strettamente crescente;
3. se \( x_{1} < x_{2} \implies f(x_{1}) \geq f(x_{2}) \), si dice che \( f \) è decrescente in senso lato o debolmente decrescente;
4. se \( x_{1} < x_{2} \implies f(x_{1}) > f(x_{2}) \), si dice che \( f \) è decrescente in senso stretto o strettamente decrescente.
Se \( f \) verifica una qualunque delle succitate proprietà, allora si dice che \( f \) è monotòna: se verifica la 1 o la 3 si dice che è debolmente monotòna, se verifica la 2 o la 4 si dice che è strettamente monotòna.

Una funzione strettamente monotòna è iniettiva.