Verificare che integrale generalizzato è soluzione di DPE
ciao a tutti ! ho trovato difficoltà con questo esercizio:
verificare che
$u(x,t)=e^{-\xiy}sin(\xi x)$ con $y>0$
è soluzione dell'equazione
$ u_{x x}+u_{y y}=0 $ e dedurre che
$u(x,t)=\int_{0}^{\infty}{c(\xi)e^{-\xiy}sin(\xi x)d\xi} $
è una soluzione dell'equazione per ogni funzione $c(\xi)$ limitata e continua in $[0,\infty)$
Allora, per la prima parte non ho avuto problemi, ho calcolato le derivate parziali e le ho sostituite all'interno della mia PED e mi trovo. Ma il punto successivo mi da un pò di problemi. Ho pensato di calcolare anche in questo caso le derivate parziali con la formula dell'integrale parametrico, ma quell'integrale generalizzato proprio mi da fastidio.
Come si procede?
grazie a tutti per l'aiuto !
verificare che
$u(x,t)=e^{-\xiy}sin(\xi x)$ con $y>0$
è soluzione dell'equazione
$ u_{x x}+u_{y y}=0 $ e dedurre che
$u(x,t)=\int_{0}^{\infty}{c(\xi)e^{-\xiy}sin(\xi x)d\xi} $
è una soluzione dell'equazione per ogni funzione $c(\xi)$ limitata e continua in $[0,\infty)$
Allora, per la prima parte non ho avuto problemi, ho calcolato le derivate parziali e le ho sostituite all'interno della mia PED e mi trovo. Ma il punto successivo mi da un pò di problemi. Ho pensato di calcolare anche in questo caso le derivate parziali con la formula dell'integrale parametrico, ma quell'integrale generalizzato proprio mi da fastidio.
Come si procede?
grazie a tutti per l'aiuto !
Risposte
Guarda che ti dice "dedurre dalla cosa di prima che l'integrale ecc ecc..." per cui ci sarà un modo di farlo senza, necessariamente, calcolare l'integrale. (Suggerimento: vai a guardare la parte di teoria relativa all'equazione di Laplace)
purtroppo, la parte di teoria è molto povera, infatti l equazione viene enunciata a titolo di esempio di una PED indipendente dal tempo.
Bè, allora prova a ragionare così: se tu sommassi due funzioni del tipo che ti viene fornito, avresti ancora una soluzione? E se fossero più di due? E cosa accade se sono "infinite funzioni? Considera che l'integrale è un operatore lineare, e la derivazione sotto il segno di integrale è assicurata da un noto teorema.
Beh si, posso ottenere soluzioni complesse come combinazioni lineari di soluzioni semplici. Almeno credo. Quindi avrei un limite di una sommatoria di soluzioni?
Mmmmm, non ho ben capito cosa intendi. Facciamola in maniera ancora più semplice: indichiamo con $u(x,y,\xi)=e^{-\xi y}\sin(\xi x)$ la funzione data e definiamo $v(x,y)=\int_0^\infty c(\xi)\ u(x,y,\xi)\ d\xi$. Quanto valgono $v_{xx},\ v_{yy}$?
$v(x,y)_(x x)=\int_0^\infty c(\xi)\ u(x,y,\xi)_(x x)\ d\xi$
$v(x,y)_(y y)=\int_0^\infty c(\xi)\ u(x,y,\xi)_(y y)\ d\xi$
?
$v(x,y)_(y y)=\int_0^\infty c(\xi)\ u(x,y,\xi)_(y y)\ d\xi$
?
Esatto. Qundi se fai $v_{xx}+v_{yy}$ cosa viene fuori?
0 e quindi è soluzione ?
Certo. Ora resta solo una domanda: perché puoi portare le derivate dentro l'integrale?
Perchè l'integrale (cosa che ancora non ho dimostrato) converge?
$int_0^\infty c(ε)*e^(–εy)*sin(εx) dε $
$int_0^\infty|c(ε)*e^(–εy)*sin(εx)| dε ≤ int_0^\infty|c(ε)|*e^(–εy)*|sin(εx)| dε ≤ int_0^\inftyL*e^(–εy) dε=L*[–e^(–εy)/y]_0^(\infty)=1/y $
e quindi converge???
$int_0^\infty|c(ε)*e^(–εy)*sin(εx)| dε ≤ int_0^\infty|c(ε)|*e^(–εy)*|sin(εx)| dε ≤ int_0^\inftyL*e^(–εy) dε=L*[–e^(–εy)/y]_0^(\infty)=1/y $
e quindi converge???
Yes! 
*-* ! grazie di cuore !
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