Verificare che funzione non è differenziabile
L'esercizio proposto è il seguente
Verificare che la funzione \(\displaystyle f(x,y) = \sqrt[3]{x^2y} \) non è differenziabile in \(\displaystyle (0,0) \) utilizzando il teorema della derivata direzionale per le funzioni differenziabili
Volevo allora utilizzare, per esercizio, il teorema del differenziale totale: mi serve, per l'ipotesi, che f sia continua in (0,0) e che le derivate parziali fx,fy siano continue in (0,0).
(*) La funzione è continua in (0,0)
(*) Calcolo allora le derivate parziali:
\(\displaystyle f_x = \frac{2xy}{3\sqrt[3]{x^4y^2}} \)
\(\displaystyle f_y = \frac{x^2}{3\sqrt[3]{x^4y^2}} \)
In (0,0) le derivate parziali non sono proprio definite, quindi posso concludere che non sono continue
Il teorema del differenziale totale è condizione sufficiente, non necessaria. Dunque non posso affermare che f non è differenziabile.
Volendo allora utilizzare, come richiesto dall'esercizio, il teorema della derivata direzionale per le funzioni differenziabili dovrei trovare una direzione \(\displaystyle \lambda \) tale che la derivata direzionale non esiste.
Domanda: come trovo questa direzione?
Verificare che la funzione \(\displaystyle f(x,y) = \sqrt[3]{x^2y} \) non è differenziabile in \(\displaystyle (0,0) \) utilizzando il teorema della derivata direzionale per le funzioni differenziabili
Volevo allora utilizzare, per esercizio, il teorema del differenziale totale: mi serve, per l'ipotesi, che f sia continua in (0,0) e che le derivate parziali fx,fy siano continue in (0,0).
(*) La funzione è continua in (0,0)
(*) Calcolo allora le derivate parziali:
\(\displaystyle f_x = \frac{2xy}{3\sqrt[3]{x^4y^2}} \)
\(\displaystyle f_y = \frac{x^2}{3\sqrt[3]{x^4y^2}} \)
In (0,0) le derivate parziali non sono proprio definite, quindi posso concludere che non sono continue
Il teorema del differenziale totale è condizione sufficiente, non necessaria. Dunque non posso affermare che f non è differenziabile.
Volendo allora utilizzare, come richiesto dall'esercizio, il teorema della derivata direzionale per le funzioni differenziabili dovrei trovare una direzione \(\displaystyle \lambda \) tale che la derivata direzionale non esiste.
Domanda: come trovo questa direzione?
Risposte
"arnett":
Non hai verificato che sono continue e infatti non lo sono: fai i conti.
Non inserire immagini, perché vanno perse, modifica il tuo messaggio inserendo il testo a mano per favore.
Modificato il messaggio!
"arnett":
Ce n'è una che si vede con gli occhi, che è la direzione del vettore $(1, 1)$.
Nella direzione (1,1) mi trovo che il limite fa 1
\(\displaystyle \lim_{t\rightarrow 0} \frac{f(t,t) - f(0,0)}{t} =
\lim_{t\rightarrow 0} \frac{\sqrt[3]{t^3}}{t} =
\lim_{t\rightarrow 0} \frac{t}{t} = 1 \)
Cosa sbaglio?
"arnett":
Ma se no ti basta chiederti per quali $a, b$ tali che $(a, b)$ si un versore esiste finito e non nullo $\lim_{t \to 0} \(a^2bt^3)^{1/3}/t $.
Mi piacerebbe che mi spiegassi questa cosa più in dettaglio!
.
P.S: Scusate se rispondo dopo qualche mese... consultando il regolamento di Matematicamente non ho visto nulla riguardo al necroposting e così ho deciso di rispondere anche se dopo mesi, essendo comunque la discussione ancora aperta e non poi così remota.
In (0,0) le derivate parziali non sono proprio definite, quindi posso concludere che non sono continue
No. Non puoi concludere proprio nulla. Anzi, puoi concludere che il conto che hai fatto è insufficiente, e che ti tocca andare a studiare il rapporto incrementale nell'origine.
Tieni sempre a mente l'esempio fondamentale, in una sola variabile
\[
f(x)=\begin{cases} x^2 \sin \left(\frac 1 x \right), & x \ne 0, \\ 0, & x=0.\end{cases}\]
Questo esempio bisogna capirlo bene. Riflettici un po' su.
"dissonance":In (0,0) le derivate parziali non sono proprio definite, quindi posso concludere che non sono continue
No. Non puoi concludere proprio nulla. Anzi, puoi concludere che il conto che hai fatto è insufficiente, e che ti tocca andare a studiare il rapporto incrementale nell'origine.
Tieni sempre a mente l'esempio fondamentale, in una sola variabile
\[
f(x)=\begin{cases} x^2 \sin \left(\frac 1 x \right), & x \ne 0, \\ 0, & x=0.\end{cases}\]
Questo esempio bisogna capirlo bene. Riflettici un po' su.
Si dopo una manciata di mesi l'ho capito (il post originale è di Luglio
) Volevo più che altro capire, nell'ultimissimo messaggio da me postato, cosa sbaglio
Che sbagli?
Perché, di un discorso fatto a metà si può dire qualcosa?
Perché, di un discorso fatto a metà si può dire qualcosa?
Ragazzi io apprezzo sempre il vostro aiuto e vi sono sempre grato, però certe volte sembra che parliamo lingue diverse, e certi post colmi di ego non aiutano per niente.
arnett mi ha suggerito che nella direzione (1,1) la derivata direzionale in (0,0) non esiste, quindi per il teorema della derivata direzionale di una funzione differenziabile si ha che la funzione non è differenziabile in (0,0) poichè sono riuscito a trovare almeno una direzione lungo la quale la derivata direzionale non esiste in (0,0)
Ora, sulla base del suggerimento di arnett, ho calcolato la derivata direzionale in (0,0) con la direzione (1,1)
\(\displaystyle \lim_{t\rightarrow 0} \frac{f(t,t) - f(0,0)}{t} =
\lim_{t\rightarrow 0} \frac{\sqrt[3]{t^3}}{t} =
\lim_{t\rightarrow 0} \frac{t}{t} = 1 \)
e al contrario di come mi aspettavo, la derivata esiste... quindi la direzione (1,1) non va bene.
Ora, non so cosa si intende per "discorso fatto a metà"... non è un discorso, ma una domanda secca:
Cosa ho sbagliato? Perché la derivata esiste in direzione (1,1) se arnett mi ha suggerito che in quella direzione non deve esistere?
Forse mi sono espresso meglio
arnett mi ha suggerito che nella direzione (1,1) la derivata direzionale in (0,0) non esiste, quindi per il teorema della derivata direzionale di una funzione differenziabile si ha che la funzione non è differenziabile in (0,0) poichè sono riuscito a trovare almeno una direzione lungo la quale la derivata direzionale non esiste in (0,0)
Ora, sulla base del suggerimento di arnett, ho calcolato la derivata direzionale in (0,0) con la direzione (1,1)
\(\displaystyle \lim_{t\rightarrow 0} \frac{f(t,t) - f(0,0)}{t} =
\lim_{t\rightarrow 0} \frac{\sqrt[3]{t^3}}{t} =
\lim_{t\rightarrow 0} \frac{t}{t} = 1 \)
e al contrario di come mi aspettavo, la derivata esiste... quindi la direzione (1,1) non va bene.
Ora, non so cosa si intende per "discorso fatto a metà"... non è un discorso, ma una domanda secca:
Cosa ho sbagliato? Perché la derivata esiste in direzione (1,1) se arnett mi ha suggerito che in quella direzione non deve esistere?
Forse mi sono espresso meglio
In effetti quel discorso (un po' paternalistico, hai ragione) sul capire l'esempio non era rivolto solo a te, è che si tratta di una domanda molto ricorrente. Comunque, venendo al sodo, mi sa che non hai interpretato correttamente il suggerimento di arnett. Il teorema che dici prevede che la derivata sia uguale al prodotto scalare
\[
\nabla f(0,0)\cdot(1, 1),\]
SE \(f\) è differenziabile. Questa cosa è verificata?
\[
\nabla f(0,0)\cdot(1, 1),\]
SE \(f\) è differenziabile. Questa cosa è verificata?
Ma il teorema dice "direzione con modulo 1"... il vettore (1,1) non ha modulo 1 quindi non capisco perchè lo considerate...
Quanto al modulo, è vero che c'è chi richiede modulo unitario, ma poco male. Rifai il conto con \((1/\sqrt 2, 1/\sqrt 2)\); ti dovrebbe venir fuori lo stesso risultato di prima, ma moltiplicato per \(1/\sqrt 2\). E adesso tocca andare a vedere se è verificato il teorema.
[ot]Quel tuo rivolgersi a "noi", mi fa pensare che tu creda che siamo una organizzazione, e siamo tutti d'accordo. Non è assolutamente così, siamo un forum di amatori e siamo qui solo per discutere e crescere insieme.[/ot]
[ot]Quel tuo rivolgersi a "noi", mi fa pensare che tu creda che siamo una organizzazione, e siamo tutti d'accordo. Non è assolutamente così, siamo un forum di amatori e siamo qui solo per discutere e crescere insieme.[/ot]
"dissonance":
Quanto al modulo, è vero che c'è chi richiede modulo unitario, ma poco male. Rifai il conto con \((1/\sqrt 2, 1/\sqrt 2)\); ti dovrebbe venir fuori lo stesso risultato di prima, ma moltiplicato per \(1/\sqrt 2\). E adesso tocca andare a vedere se è verificato il teorema.
Calcolando la derivata direzionale con la definizione, il limite del rapporto incrementale mi viene +infinito
Mentre se faccio il prodotto scalare tra gradiente di f in (0,0) e (\(1/\sqrt 2\) , \(1/\sqrt 2\)) viene 0 che è diverso da +inf quindi la funzione non è differenziabile.
E' esatto?
"dissonance":
Quel tuo rivolgersi a "noi", mi fa pensare che tu creda che siamo una organizzazione, e siamo tutti d'accordo. Non è assolutamente così, siamo un forum di amatori e siamo qui solo per discutere e crescere insieme.
Questo è ovvio... però vedevo che nessuno "smentiva" e quindi come potevo non pensare che foste tutti d'accordo riguardo la direzione (1,1)?
Adesso ti viene infinito? Ma prima non ti veniva un valore finito? Posta il conto.
"dissonance":
Adesso ti viene infinito? Ma prima non ti veniva un valore finito? Posta il conto.
Prima io non avevo considerato la direzione (\(1/\sqrt 2\) , \(1/\sqrt 2\)) bensì la direzione (1,1) che abbiamo poi scoperto non andare bene
\(\displaystyle \lim_{t\rightarrow 0} \frac{f(\frac{1}{\sqrt{2}}+t , \frac{1}{\sqrt{2}}+t) - f(0,0)}{t} =
\lim_{t\rightarrow 0} \frac{\sqrt{ (\frac{1}{2} + t^2 + \frac{2t}{\sqrt{2}})\cdot (\frac{1}{\sqrt{2}}+t) }}{t} =
\frac{\sqrt{\frac{1}{2\sqrt{2}}}}{0} = \infty \)
Ma come la hai calcolata questa derivata? Applica bene la definizione. La t deve moltiplicare, non dividere, 1\sqrt 2. Come ho detto prima, considerare (1,1) o l'altro vettore è essenzialmente lo stesso, cambia solo un fattore.
"dissonance":
Ma come la hai calcolata questa derivata? Applica bene la definizione. La t deve moltiplicare, non dividere, 1\sqrt 2. Come ho detto prima, considerare (1,1) o l'altro vettore è essenzialmente lo stesso, cambia solo un fattore.
Sono ritardato.
Si, mi viene un prodotto scalare del tipo \(\displaystyle (0,0) \cdot (1/\sqrt{2},1/\sqrt{2}) = 0 \) che non coincide con la derivata direzionale, che è anch'essa \(\displaystyle 1/\sqrt{2} \)
Quindi f non differenziabile. Grazie per l'aiuto!
.
Rimane però la domanda: come faccio a trovare la direzione, nel caso in cui non è immediata? Non credo che andare a tentativi mi sia molto utile... (l'approccio di arnett non l'ho capito
)
Non provi tutte le direzioni.
Schemino:
a) se ti chiedono di dimostrare che una funzione è differenziabile in un punto usi la definizione di differenziabilità...NON ti metti a provare che la derivata direzionale esiste per tutti gli infiniti percorsi possibili.
b ) se ti chiedono di dimostrare che una funzione NON è differenziabile in un punto usi la definizione di differenziabilità oppure esplori le derivate direzionali per $y=0$ e $x=0$ e:
b1) se non coincidono hai finito
b2) se coincidono allora provi la direzione generica $y=tx$ (se poi "vedi" che, per esempio, per $t=1$ raggiungi già il risultato sperato vai per quella come ha fatto Arnett) e trovi magari l'unica direzione per cui effettivamente la derivata direzionale non esiste oppure esiste ma ha un valore diverso da tutte le precedenti.
Un'altra cosa utile da osservare è se una funzione è simmetrica. Per esempio questa è simmetrica rispetto all'asse Y, quindi se ci si muove nel primo quadrante lungo la direzione/retta $y=x$ verso l'origine, oppure dal terzo quadrante, avrai il medesimo risultato. Stessa cosa per il secondo e quarto quadrante.
Schemino:
a) se ti chiedono di dimostrare che una funzione è differenziabile in un punto usi la definizione di differenziabilità...NON ti metti a provare che la derivata direzionale esiste per tutti gli infiniti percorsi possibili.
b ) se ti chiedono di dimostrare che una funzione NON è differenziabile in un punto usi la definizione di differenziabilità oppure esplori le derivate direzionali per $y=0$ e $x=0$ e:
b1) se non coincidono hai finito
b2) se coincidono allora provi la direzione generica $y=tx$ (se poi "vedi" che, per esempio, per $t=1$ raggiungi già il risultato sperato vai per quella come ha fatto Arnett) e trovi magari l'unica direzione per cui effettivamente la derivata direzionale non esiste oppure esiste ma ha un valore diverso da tutte le precedenti.
Un'altra cosa utile da osservare è se una funzione è simmetrica. Per esempio questa è simmetrica rispetto all'asse Y, quindi se ci si muove nel primo quadrante lungo la direzione/retta $y=x$ verso l'origine, oppure dal terzo quadrante, avrai il medesimo risultato. Stessa cosa per il secondo e quarto quadrante.
"Bokonon":
Non provi tutte le direzioni.
b ) se ti chiedono di dimostrare che una funzione NON è differenziabile in un punto usi la definizione di differenziabilità oppure esplori le derivate direzionali per $y=0$ e $x=0$ e:
b1) se non coincidono hai finito
b2) se coincidono allora provi la direzione generica $y=tx$ (se poi "vedi" che, per esempio, per $t=1$ raggiungi già il risultato sperato vai per quella come ha fatto Arnett) e trovi magari l'unica direzione per cui effettivamente la derivata direzionale non esiste oppure esiste ma ha un valore diverso da tutte le precedenti.
Grazie per il contributo ma non capisco un particolare.
Perchè dici che le derivate direzionali devono coincidere tutte e se non coincidono non è differenziabile?
Il teorema delle derivate direzionali parla di esistenza della derivata direzionale, e che questa deve coincidere con il prodotto scalare tra direzione e gradiente... ma non parla che devono coincidere tutte tra loro.
Mi sfugge qualcosa forse?
No, hai ragione ho semplificato troppo perchè in genere i punti critici sono punti di sella (termine inteso in senso allargato). Domani rimedio e provo anche a spiegarmi molto meglio di quanto ho fatto (obiettivamente ho scritto il post con i piedi).
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