Verifica svolgimento limite

[geovito]

ciao
ho svolto l'assegnato limite nel seguente modo. Ho proceduto bene?
$\lim_{x\to \infty}log [(x+1)/x- sin 1/x]/(arctg((x+1)/x^2)-arcsinh(x+1)/x^2)$
pongo $1/x=t$ quinti per $x\to \infty$, $t->0$ dorma indeterminata $0/0$

Il limite diviene
$\lim_{t->0}log [1+t- sin t]/(arctg(t+t^2)-arcsinh(t+t^2))$
MI riconduco ai limiti fondamentali e il limite diviene
$\lim_{t->0}[t- sin t]/(arctg(t+t^2)-(t+t^2))$
Sostituisco il numeratore con l'ordine di infinitesimo $t^3/6$

$\lim_{t->0}[t^3/6]/(arctg(t+t^2)-(t+t^2))$ applico Hopital ed ho

$\lim_{t->0}[t^2]/[2((1+2t)]/[1+(t+t^2)^2]-2(1+2t)]$

sviluppando i calcoli e raccogliendo a fattor comune viene $-1/2$, mentre il risultato esatto è $-1/4$.

E' esatto lo svolgimento?
Grazie

[Seneca1]

"vitus":
$\lim_{t->0}[t- sin t]/(arctg(t+t^2)-(t+t^2))$

Perché l'arcotangente e l'arcoseno iperbolico hanno un simile argomento?

Sostituisco il numeratore con l'ordine di infinitesimo $t^3/6$

Un piccolo appunto sul linguaggio: $t^3/6$ è un infinitesimo di ordine $3$.

[geovito]

Grazie!
L'argomento di arctg e di arcsinh è lo stesso!

[geovito]

c'era un errore che ho corretto, altrimento non si giustificano i passaggi.

[geovito]

Mi dite se è esatto?
Grazie

[ciampax]

Credo che il problema stia nell'applicare de l'Hopital: al denominatore o lasci tutto com'è (senza sostituire gli ordini di infinitesimo) oppure prima devi scriverti lo sviluppo giusto. Visto che [tex]$\arctan(x)=x-\frac{x^3}{3}++o(x^3),\ \mathrm{arcsinh}(x)=x+\frac{x^3}{3}+o(x^3)$[/tex] ottieni

[tex]$\arctan(t+t^2)-\mathrm{arcsinh}(t+t^2)=-\frac{2}{3}(t+t^2)^3=-\frac{2}{3} t^3$[/tex]

per cui il limite diventa

[tex]$\lim_{t\to 0}\frac{t^3/6}{-2t^3/3}=-\frac{1}{4}$[/tex]