Verifica svolgimento esercizio di funzioni in due variabili
Salve ragazzi,
Volevo chiedervi se avevo svolto bene un esercizio su le funzioni in due variabili
la funzione in questione è $f(x,y)=arctg(y/x)$
1)Determinare e rappresentare il dominio ed evidenziare le sue caratteristiche topologiche
il dominio è
$ D={(x,y)in RR^2 : -pi/2<=y/x<=pi/2 , x!=0} $
Rappresentato dovrebbe essere:
2)Stabilire se è continua
Su questo punto ho molti dubbi però ho pensato che bisogna calcolare il limite nell'unico punto che è di accumulazione per f ovvero in x=0 e ad occhio il limite fa $pi/2$
quindi dovrebbe essere non continua
3)Determinare l'insieme di derivabilità e calcolare il gradiente
Qui mi sono calcolato le derivate e ne ho determinato il dominio
il vettore gradiente:
$ nabla f(x,y)=(-y/(x^2+y^2),x/(x^2+y^2)) $
e il dominio delle derivate
$X={(x,y)in RR^2 : x!=0 , y!=0) } $
Vi ringrazio per il supporto e l'aiuto
Volevo chiedervi se avevo svolto bene un esercizio su le funzioni in due variabili
la funzione in questione è $f(x,y)=arctg(y/x)$
1)Determinare e rappresentare il dominio ed evidenziare le sue caratteristiche topologiche
il dominio è
$ D={(x,y)in RR^2 : -pi/2<=y/x<=pi/2 , x!=0} $
Rappresentato dovrebbe essere:
2)Stabilire se è continua
Su questo punto ho molti dubbi però ho pensato che bisogna calcolare il limite nell'unico punto che è di accumulazione per f ovvero in x=0 e ad occhio il limite fa $pi/2$
quindi dovrebbe essere non continua
3)Determinare l'insieme di derivabilità e calcolare il gradiente
Qui mi sono calcolato le derivate e ne ho determinato il dominio
il vettore gradiente:
$ nabla f(x,y)=(-y/(x^2+y^2),x/(x^2+y^2)) $
e il dominio delle derivate
$X={(x,y)in RR^2 : x!=0 , y!=0) } $
Vi ringrazio per il supporto e l'aiuto
Risposte
Io direi che il dominio è tutto $RR^2$ meno l'asse $y$.
Ti faccio notare anche che $x=0$ non è un punto nel dominio della funzione, ma proprio l'asse y. Per la continuità mi sembra continua sul suo dominio, poi se ti interessa sapere in quali dei punti dell'asse $y$ può essere definita in modo da essere continua, allora è un'altra questione. Ma non mi sembra l'esercizio lo richieda.
In ogni caso la retta $x=0$ era esclusa anche dal tuo dominio, o sbaglio?
Ti faccio notare anche che $x=0$ non è un punto nel dominio della funzione, ma proprio l'asse y. Per la continuità mi sembra continua sul suo dominio, poi se ti interessa sapere in quali dei punti dell'asse $y$ può essere definita in modo da essere continua, allora è un'altra questione. Ma non mi sembra l'esercizio lo richieda.
In ogni caso la retta $x=0$ era esclusa anche dal tuo dominio, o sbaglio?
Giuly19 ti ringrazio per la risposta....
non riesco a capire il fatto che il dominio della funzione è tutto $RR^2$ escluso l'asse $y$ poichè l'arcotangente non è definita tra $[-pi/2,pi/2]$??
(Mi trovo con l'asse y anche se non l'ho tracciato poichè non riuscivo a fare una linea tratteggiata e per questo mi scuso dell'imprecisione xD)
Per la continuità,ha ragione è continua nel suo dominio ma poi a quel'punto perchè chiederlo?
Cioè nella mia testa viene in mente questo ragionamento...nel suo insieme di definizione è ovvio che sia continua. Quindi,pensavo che fosse scontata come cosa ed ho iniziato a filosofeggiare xD
non riesco a capire il fatto che il dominio della funzione è tutto $RR^2$ escluso l'asse $y$ poichè l'arcotangente non è definita tra $[-pi/2,pi/2]$??
(Mi trovo con l'asse y anche se non l'ho tracciato poichè non riuscivo a fare una linea tratteggiata e per questo mi scuso dell'imprecisione xD)
Per la continuità,ha ragione è continua nel suo dominio ma poi a quel'punto perchè chiederlo?
Cioè nella mia testa viene in mente questo ragionamento...nel suo insieme di definizione è ovvio che sia continua. Quindi,pensavo che fosse scontata come cosa ed ho iniziato a filosofeggiare xD
No l'arcotangente assume valori tra $[-pi/2,pi/2]$, è definita su tutto l'asse reale (in una variabile).
Lì l'unica cosa da escludere sono i punti in cui si annulla il denominatore!
Per la continuità, mi pare (non ho fatto i conti) che non esista il limite nell'origine, e quindi che non possa essere definita in modo da essere continua nel punto $(0,0)$, ma nemmeno negli altri punti dell'asse $x=0$ perchè se ci arrivi da destra ottieni $pi/2$ mentre da sinistra $-pi/2$ (per $y>0$, i limiti sono scambiati per $y<0$).
Lì l'unica cosa da escludere sono i punti in cui si annulla il denominatore!
Per la continuità, mi pare (non ho fatto i conti) che non esista il limite nell'origine, e quindi che non possa essere definita in modo da essere continua nel punto $(0,0)$, ma nemmeno negli altri punti dell'asse $x=0$ perchè se ci arrivi da destra ottieni $pi/2$ mentre da sinistra $-pi/2$ (per $y>0$, i limiti sono scambiati per $y<0$).
Ah ok allora mi sono confuso xD
quindi alla fine se voglio rappresentarlo graficamente mi basta tracciare una linea tratteggiata sull'asse y
ora ti chiedo solo una conferma riguardo alla continuità
che limite deve essere fatto?
quindi alla fine se voglio rappresentarlo graficamente mi basta tracciare una linea tratteggiata sull'asse y
ora ti chiedo solo una conferma riguardo alla continuità
che limite deve essere fatto?
Dovrai calcolare il limite per ogni punto della forma [tex]$(0,y),\ y\in\mathbb{R}$[/tex]. Attento al caso del punto $(0,0)$ che presenta una difficoltà maggiore rispetto agli altri.
ciampax grazie per l'aiuto....
Riassumendo, siccome la mia funzione non è definita sull'asse y, devo andare a vedere lì cosa succede e quindi devo andare a considerare il limite
$ lim_(x -> 0^+) arctg(y/x)=pi/2$
$lim_(x -> 0^-) arctg(y/x)=-pi/2 $
$lim_(x,y -> 0 ,0 ) arctg(y/x)=((arctg(y/x))/(y/x))y/x $
Considero il limite
$lim_(x,y -> 0 ,0 ) y/x$
mettendomi sulla retta $y=mx$ ottengo
$lim_(x -> 0) mx/x=m$
e da ciò posso concludere che la funzione non è continua sull'asse y e maggiormente in (0,0)
dato che non viene soddisfatta la condizione di continuità $ lim_(x,y -> x_0,y_0) f(x,y)=f(x_0,y_0) $
è giusto il ragionamento?anche dal punto di vista formale??
Riassumendo, siccome la mia funzione non è definita sull'asse y, devo andare a vedere lì cosa succede e quindi devo andare a considerare il limite
$ lim_(x -> 0^+) arctg(y/x)=pi/2$
$lim_(x -> 0^-) arctg(y/x)=-pi/2 $
$lim_(x,y -> 0 ,0 ) arctg(y/x)=((arctg(y/x))/(y/x))y/x $
Considero il limite
$lim_(x,y -> 0 ,0 ) y/x$
mettendomi sulla retta $y=mx$ ottengo
$lim_(x -> 0) mx/x=m$
e da ciò posso concludere che la funzione non è continua sull'asse y e maggiormente in (0,0)
dato che non viene soddisfatta la condizione di continuità $ lim_(x,y -> x_0,y_0) f(x,y)=f(x_0,y_0) $
è giusto il ragionamento?anche dal punto di vista formale??
un piccolo up giusto per avere una conferma del ragionamento....
Mi pare che torni. Sarei solo un po' più preciso in questo senso:
[tex]$\lim_{(x,y)\to(0^{\pm},y_0)} f(x,y)=\pm\frac{\pi}{2},\qquad y_0>0$[/tex]
[tex]$\lim_{(x,y)\to(0^{\pm},y_0)} f(x,y)=\mp\frac{\pi}{2},\qquad y_0<0$[/tex]
Per l'ultima, invece, passa direttamente a scrivere [tex]$y=mx$[/tex] per vedere che
[tex]$\lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y)=\lim_{x\to 0}\arctan(m)=\arctan(m)$[/tex]
e poter affermare che il limite non esiste.
[tex]$\lim_{(x,y)\to(0^{\pm},y_0)} f(x,y)=\pm\frac{\pi}{2},\qquad y_0>0$[/tex]
[tex]$\lim_{(x,y)\to(0^{\pm},y_0)} f(x,y)=\mp\frac{\pi}{2},\qquad y_0<0$[/tex]
Per l'ultima, invece, passa direttamente a scrivere [tex]$y=mx$[/tex] per vedere che
[tex]$\lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y)=\lim_{x\to 0}\arctan(m)=\arctan(m)$[/tex]
e poter affermare che il limite non esiste.
Grazie ciampax per l'aiuto!!
Ciampax ho solo un ultimo dubbio teorico
(più che dubbio è un incertezza dettata dall'ansia xD)
Concludo dicendo che la funzione non è continua poichè non soddisfa la condizione classica di continuità ovvero
$ lim_(x,y -> x_0,y_0) f(x,y)=f(x_0,y_0) $
$ AA epsilon>0$ $EE delta>0 : O/ != |x-x_0|< delta ,$ $|f(x,y)-f(x_0,y_0)|< epsilon $
Scusami se insisto con queste domande un po banali ma vorrei cercare di essere il quanto più preciso possibile poichè ogni minimo errore con le parole mi puo' costare caro...
Grazie ancora!
(più che dubbio è un incertezza dettata dall'ansia xD)
Concludo dicendo che la funzione non è continua poichè non soddisfa la condizione classica di continuità ovvero
$ lim_(x,y -> x_0,y_0) f(x,y)=f(x_0,y_0) $
$ AA epsilon>0$ $EE delta>0 : O/ != |x-x_0|< delta ,$ $|f(x,y)-f(x_0,y_0)|< epsilon $
Scusami se insisto con queste domande un po banali ma vorrei cercare di essere il quanto più preciso possibile poichè ogni minimo errore con le parole mi puo' costare caro...
Grazie ancora!
Certo.
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