Verifica su esercizio forma differenziale in R^2
Salve a tutti! Volevo chiedervi conferma sulla risoluzione di un esercizio di una forma differenziale. io l'ho risolto, ma, non sapendo il risultato ed essendo un esercizio importante, vorrei avere una conferma su quello che ho fatto.
Ora scrivo la traccia dell'esercizio:
Calcolare $ int_(tau)^( ) (x/(1+x^2+y^2)+xy)dx+(y/(1+x^2+y^2))dy $ dove $tau$ è il sostegno della curva di eq. $y=e^x$, $ x in [0,1] $ orientata nel verso delle x crescenti (suggerimento: si "spezzi" la forma diff. in modo opportuno).
Ora vi dico come ho ho fatto. Uso la linearita dell'integrale, il quale diventa $ int_(tau)^( ) (x/(1+x^2+y^2))dx+y/(1+x^2+y^2)dy + int_(tau)^() xydx $ ,
la prima f.d. è chiusa in R^2(semp. connesso) quindi esatta. Quindi l'integrale, per il noto teorema, lo posso anche calcolare grazie alla primitiva della f.d., la quale primitiva è F=$1/2log(1+x^2+y^2)+c $ con $ c in R^2 $. La curva su cui calcolare l'integrale sarà $ tau={ x = t,y=e^t:} $ . Ora il primo integrale spezzato sarà uguale $ F(tau(1))-F(tau(0)) $, e cioè a $ 1/2 log(2+e) $ e semplificando a $ 1/2 (log(2)+1) $.
Il secondo integrale spezzato si calcolerà applicando la definizione di integrale curvilineo $ int_(0)^(1) te^t $, il quale si risolvendo per parti si ottiene $-e$.Il risultato dell'esercizio è quindi $1/2(log(2)+1)+e$. Vorrei quindi avere conferme sulla risoluzione, grazie.
Ora scrivo la traccia dell'esercizio:
Calcolare $ int_(tau)^( ) (x/(1+x^2+y^2)+xy)dx+(y/(1+x^2+y^2))dy $ dove $tau$ è il sostegno della curva di eq. $y=e^x$, $ x in [0,1] $ orientata nel verso delle x crescenti (suggerimento: si "spezzi" la forma diff. in modo opportuno).
Ora vi dico come ho ho fatto. Uso la linearita dell'integrale, il quale diventa $ int_(tau)^( ) (x/(1+x^2+y^2))dx+y/(1+x^2+y^2)dy + int_(tau)^() xydx $ ,
la prima f.d. è chiusa in R^2(semp. connesso) quindi esatta. Quindi l'integrale, per il noto teorema, lo posso anche calcolare grazie alla primitiva della f.d., la quale primitiva è F=$1/2log(1+x^2+y^2)+c $ con $ c in R^2 $. La curva su cui calcolare l'integrale sarà $ tau={ x = t,y=e^t:} $ . Ora il primo integrale spezzato sarà uguale $ F(tau(1))-F(tau(0)) $, e cioè a $ 1/2 log(2+e) $ e semplificando a $ 1/2 (log(2)+1) $.
Il secondo integrale spezzato si calcolerà applicando la definizione di integrale curvilineo $ int_(0)^(1) te^t $, il quale si risolvendo per parti si ottiene $-e$.Il risultato dell'esercizio è quindi $1/2(log(2)+1)+e$. Vorrei quindi avere conferme sulla risoluzione, grazie.
Risposte
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WOW... Un thread uppato dopo sei mesi e mezzo! 
Ad ogni modo, pare giusto; non ho controllato i calcoli, ma il procedimento è sensato.
Ad ogni modo, pare giusto; non ho controllato i calcoli, ma il procedimento è sensato.
WOW... Un thread uppato dopo sei mesi e mezzo! Laughing
Ad ogni modo, pare giusto; non ho controllato i calcoli, ma il procedimento è sensato.
eheh, sisi
L'esercizio serviva a un mio amico, e volevo la conferma del mio procedimento
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