Verifica studio funzione integrale
Ciao a tutti, ho appena svolto un esercizio sullo studio di una funzione integrale, e siccome non avrò modo di vedere il professore prima dell'esame avrei bisogno di essere sicuro che sia corretto, in modo tale da correggere eventuali errori.
Innanzitutto premetto che ho già letto con attenzione il post sullo studio di tali funzioni, che mi è stato immensamente utile, scrivo il topic ugualmente per valutare i miei risultati su questo esercizio in particolare.
Allora cominciamo, la funzione in questione è
\[ F(x)= x - \int_{0}^{x} \frac{t}{\sqrt{(2-t)(t+3)}} \ \text{d} t \; .\]
Noto subito che una prima restrizione del dominio di F(x) va fatta considerando il segno della radice al denominatore. Questa risulta positiva nell'intervallo \( -3
Studiando il valore che F assume in alcuni punti ottengo:
\( F(0)=0 \)
\( F(-3)=a<0 \)
\( F(2)=b>0 \)
Poichè, tramite verifica online, risulta:
\( a=-3-\int_{0}^{-3}t/(\sqrt{(2-t)(t+3)}\, dt=-3+ \int_{-3}^{0}t/(\sqrt{(2-t)(t+3)}\, dt\approx -6,33 \)
\( b=2-\int_{0}^{2} t/\sqrt{(2-t)(t+3)} \, dt \approx 0,25 \)
Studiando ora la monotònia della funzione tramite la derivata ottengo:
\( F'(x)=1+x/(\sqrt{2-x)(x+3)} \) se \( -3\leq x<0 \)
\( F'(x)=1-x/(\sqrt{2-x)(x+3)} \) se \( 0
\( \lim_{x\rightarrow c} F'(x)=-\infty \)
Inoltre nel punto \( x=0 \) , la derivata esiste ed è continua poichè \( \lim_{x\rightarrow 0^+} F'(x)=1 \) e \( \lim_{x\rightarrow 0^-} F'(x)=1 \)
Dallo studio del segno ho :
\( F'(x)>0 \) in \( ]-2,3/2[ \)
\( F'(x)<0 \) in \( ]-3,-2[ U ]3/2,2[ \)
Infine, la funzione ha un punto di minimo relativo in \( x=-2 \) ed un punto di massimo relativo in \( x=3/2 \) .
Nell'esercizio non è richiesto lo studio della derivata seconda, quindi mi fermo qui.
Spero di aver svolto correttamente tutti i passaggi e di non aver commesso errori concettuali, dato che lo studio di questo tipo di funzioni mi è ancora abbastanza nuovo. Ringrazio in anticipo chiunque impiegherà parte del suo tempo nel leggere, ed eventualmente commentare e/o correggere questo post.
Buona giornata
P.S . Questo post si è reso necessario perchè non ho sul pc strumenti che permettono di tracciare il grafico di una funzione integrale, ho visto che a questo scopo si usa Derive, ma il sito ufficiale è fuori servizio e online trovo solo siti poco affidabili che per 2 volte mi hanno infettato il pc , quindi se qualcuno fosse tanto gentile da postare il grafico e magari procurarmi in maniera sicura il programma avrebbe la mia più sincera gratitudine
Innanzitutto premetto che ho già letto con attenzione il post sullo studio di tali funzioni, che mi è stato immensamente utile, scrivo il topic ugualmente per valutare i miei risultati su questo esercizio in particolare.
Allora cominciamo, la funzione in questione è
\[ F(x)= x - \int_{0}^{x} \frac{t}{\sqrt{(2-t)(t+3)}} \ \text{d} t \; .\]
Noto subito che una prima restrizione del dominio di F(x) va fatta considerando il segno della radice al denominatore. Questa risulta positiva nell'intervallo \( -3
Studiando il valore che F assume in alcuni punti ottengo:
\( F(0)=0 \)
\( F(-3)=a<0 \)
\( F(2)=b>0 \)
Poichè, tramite verifica online, risulta:
\( a=-3-\int_{0}^{-3}t/(\sqrt{(2-t)(t+3)}\, dt=-3+ \int_{-3}^{0}t/(\sqrt{(2-t)(t+3)}\, dt\approx -6,33 \)
\( b=2-\int_{0}^{2} t/\sqrt{(2-t)(t+3)} \, dt \approx 0,25 \)
Studiando ora la monotònia della funzione tramite la derivata ottengo:
\( F'(x)=1+x/(\sqrt{2-x)(x+3)} \) se \( -3\leq x<0 \)
\( F'(x)=1-x/(\sqrt{2-x)(x+3)} \) se \( 0
\( \lim_{x\rightarrow c} F'(x)=-\infty \)
Inoltre nel punto \( x=0 \) , la derivata esiste ed è continua poichè \( \lim_{x\rightarrow 0^+} F'(x)=1 \) e \( \lim_{x\rightarrow 0^-} F'(x)=1 \)
Dallo studio del segno ho :
\( F'(x)>0 \) in \( ]-2,3/2[ \)
\( F'(x)<0 \) in \( ]-3,-2[ U ]3/2,2[ \)
Infine, la funzione ha un punto di minimo relativo in \( x=-2 \) ed un punto di massimo relativo in \( x=3/2 \) .
Nell'esercizio non è richiesto lo studio della derivata seconda, quindi mi fermo qui.
Spero di aver svolto correttamente tutti i passaggi e di non aver commesso errori concettuali, dato che lo studio di questo tipo di funzioni mi è ancora abbastanza nuovo. Ringrazio in anticipo chiunque impiegherà parte del suo tempo nel leggere, ed eventualmente commentare e/o correggere questo post.
Buona giornata
P.S . Questo post si è reso necessario perchè non ho sul pc strumenti che permettono di tracciare il grafico di una funzione integrale, ho visto che a questo scopo si usa Derive, ma il sito ufficiale è fuori servizio e online trovo solo siti poco affidabili che per 2 volte mi hanno infettato il pc , quindi se qualcuno fosse tanto gentile da postare il grafico e magari procurarmi in maniera sicura il programma avrebbe la mia più sincera gratitudine
Risposte
Non riesco a capire perché "spezzi" la derivata... La derivata della funzione integrale coincide con l'integrando, nel caso in esame (per il TFCI).
Dunque la funzione \(F\) è strettamente crescente ovunque in \([-3,2]\).
Dunque la funzione \(F\) è strettamente crescente ovunque in \([-3,2]\).
Mannaggia.
Ero convinto che, poichè la funzione cambia di segno se l'estremo libero è minore di quello fisso, la derivata si sarebbe comportata ugualmente.
Invece a quanto ho capito ora questa cosa è sbagliata, e quindi quando si deriva la funzione integrale, a meno di cambi di legge interni all'integranda , la derivata è identica all'integranda, indipendentemente dall'ordine in cui sono messi gli estremi, giusto?
Ero convinto che, poichè la funzione cambia di segno se l'estremo libero è minore di quello fisso, la derivata si sarebbe comportata ugualmente.
Invece a quanto ho capito ora questa cosa è sbagliata, e quindi quando si deriva la funzione integrale, a meno di cambi di legge interni all'integranda , la derivata è identica all'integranda, indipendentemente dall'ordine in cui sono messi gli estremi, giusto?
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