Verifica sommabilità integrale

[alfonso101]

ciao ragazzi!
sapete per caso dirmi come potrei verificare la sommabilità di questo integrale:

$int_(1/e)^1 1/[xsqrt(1-ln^2x)]dx$

grazie a chiunque mi aiuterà!

[pat871]

$int_(1/e)^1 (1)/(x sqrt(1 - ln^2(x))) dx = [arcsin(ln(x))]_(1/e)^1 = 0 - arcsin(ln(1/e)) = - arcsin(-1) = pi/2$

[alfonso101]

"pat87":$int_(1/e)^1 (1)/(x sqrt(1 - ln^2(x))) dx = [arcsin(ln(x))]_(1/e)^1 = 0 - arcsin(ln(1/e)) = - arcsin(-1) = pi/2$

grazie per la risposta
ho però da chiedere 2 altre cose a prorposito di questo integrale:
1)lo stesso integrale come si può dimostrare che è sommabile tramite i criteri di sommabilità o i criteri del confronto,cioè senza doverlo sviluppare???
2)inoltre, $- arcsin(-1)$ come fa a venirti $pi/2$....non dovrebbe fare $-3pi/2$ ??

[pat871]

1) Per dimostrare che è sommabile secondo Riemann, ti basta dimostrare che la funzione è continua e limitata nell'intervallo in cui devi integrare.
2) $arcsin(-1) = -pi/2$ perché $sin(-pi/2) = -1$. Attenzione, $arcsin$ è una funzione che va da $[-1,1]$ a $[-pi/2, pi/2]$, per cui non ammette il valore $(3pi)/2$.

[alfonso101]

"pat87":1) Per dimostrare che è sommabile secondo Riemann, ti basta dimostrare che la funzione è continua e limitata nell'intervallo in cui devi integrare.
.

infatti....è proprio quelllo il problema....la funzione non è limitata in $1/e$.....io di solito uso il criterio del confronto asintotico per dimostrare la sommabilità....ma con questa funzione non sò proprio con cosa confrontare!!
ti viene qualche idea??

2) $arcsin(-1) = -pi/2$ perché $sin(-pi/2) = -1$. Attenzione, $arcsin$ è una funzione che va da $[-1,1]$ a $[-pi/2, pi/2]$, per cui non ammette il valore $(3pi)/2$.

si...vero....mi ero sbagliato! grazie

[pat871]

Ah scusa non mi ero accorto che il denominatore di annullava in quel punto.
Direi a questo punto di sviluppare il termine con la radice in serie di Taylor, e vedere come si comporta la funzione in $1/e$. Oppure effettuare una sostituzione in modo che il punto $1/e$ diventa $0$ e poi analizzare quel caso. Adesso ci provo...
Scusami, sono un po' arruginito in questo campo, magari c'è qualcuno più esperto che saprà dirti la soluzione esatta..

[alfonso101]

niente da fare??? nessuno in grado di dirmi come potere verificare la sommabilità usando i criteri e i teoremi sul confronto o cose del genere???