Verifica procedimento di un'eq. differenziale

[Horus2]

Ho recuperato questa equazione differenziale in uno degli esercizi del forum:

${(y'(x)=2y-e^x),(y(0)=0):}=>y(x)=e^x(1-e^x)$

Ho usato la formula per trovare l'integrale generale di una lineare:

$y=e^(-int-2dx) [int-e^(x int-2dx)dx+c]

Nel fare l'integrale penso di aver fatto un errore, perchè non arrivo al risultato esatto. Suddivido l'integrale nelle due parti per chiarezza:

$e^(-int-2dx)=e^(2x)
$int-e^(x int-2dx)dx =-e^(-x2x)=-e^(-2x^2)=-1/e^(2x^2)

Dove ho sbagliato?

[cavallipurosangue]

"Horus": [int-e^(x int-2dx)dx+c]

Perchè?

[Nidhogg]

$f(x)=-2$ e $g(x)=-e^x$

$y=e^-(int f(x) dx)*[int e^(int f(x) dx) * g(x) dx +c]$

$e^-(int f(x) dx)=e^-(int -2 dx)=e^int(2 dx)=e^(2x)$

$e^(int f(x) dx)=e^(int -2 dx)=e^(-(int 2 dx))=e^(-2x)$

$int e^(int f(x) dx) * g(x) dx=int e^(-2x)*g(x) dx=int e^(-2x)*(-e^x) dx=int -e^(-x) dx=-int e^(-x) dx=-e^(-x)$

$y=e^(2x)*[-e^(-x) +c] rarr y=c*e^(2x)-e^x$

Sostituendo le coordinate della condizione iniziale $y(0)=0$ nell'integrale generale, si determina il valore di c: $y=c*e^(2x)-e^x rarr 0=c-1 rarr c=1$

L'integrale particolare è quindi: $y=e^(2x)-e^x rarr y=e^x(e^x-1)$

[cavallipurosangue]

Infatti, non capisco cosa ha scritto lui..

[Horus2]

Direi che avevo sbagliato la formula... mi mancavano dei pezzi e avevo sbagliato un segno.
Sono andato a guardare sul libro e infatti era diversa rispetto ai miei appunti

Grazie per l'aiuto!