Verifica procedimento di un'eq. differenziale
Ho recuperato questa equazione differenziale in uno degli esercizi del forum:
${(y'(x)=2y-e^x),(y(0)=0):}=>y(x)=e^x(1-e^x)$
Ho usato la formula per trovare l'integrale generale di una lineare:
$y=e^(-int-2dx) [int-e^(x int-2dx)dx+c]
Nel fare l'integrale penso di aver fatto un errore, perchè non arrivo al risultato esatto. Suddivido l'integrale nelle due parti per chiarezza:
$e^(-int-2dx)=e^(2x)
$int-e^(x int-2dx)dx =-e^(-x2x)=-e^(-2x^2)=-1/e^(2x^2)
Dove ho sbagliato?
${(y'(x)=2y-e^x),(y(0)=0):}=>y(x)=e^x(1-e^x)$
Ho usato la formula per trovare l'integrale generale di una lineare:
$y=e^(-int-2dx) [int-e^(x int-2dx)dx+c]
Nel fare l'integrale penso di aver fatto un errore, perchè non arrivo al risultato esatto. Suddivido l'integrale nelle due parti per chiarezza:
$e^(-int-2dx)=e^(2x)
$int-e^(x int-2dx)dx =-e^(-x2x)=-e^(-2x^2)=-1/e^(2x^2)
Dove ho sbagliato?
Risposte
"Horus":
[int-e^(x int-2dx)dx+c]
Perchè?
$f(x)=-2$ e $g(x)=-e^x$
$y=e^-(int f(x) dx)*[int e^(int f(x) dx) * g(x) dx +c]$
$e^-(int f(x) dx)=e^-(int -2 dx)=e^int(2 dx)=e^(2x)$
$e^(int f(x) dx)=e^(int -2 dx)=e^(-(int 2 dx))=e^(-2x)$
$int e^(int f(x) dx) * g(x) dx=int e^(-2x)*g(x) dx=int e^(-2x)*(-e^x) dx=int -e^(-x) dx=-int e^(-x) dx=-e^(-x)$
$y=e^(2x)*[-e^(-x) +c] rarr y=c*e^(2x)-e^x$
Sostituendo le coordinate della condizione iniziale $y(0)=0$ nell'integrale generale, si determina il valore di c: $y=c*e^(2x)-e^x rarr 0=c-1 rarr c=1$
L'integrale particolare è quindi: $y=e^(2x)-e^x rarr y=e^x(e^x-1)$
$y=e^-(int f(x) dx)*[int e^(int f(x) dx) * g(x) dx +c]$
$e^-(int f(x) dx)=e^-(int -2 dx)=e^int(2 dx)=e^(2x)$
$e^(int f(x) dx)=e^(int -2 dx)=e^(-(int 2 dx))=e^(-2x)$
$int e^(int f(x) dx) * g(x) dx=int e^(-2x)*g(x) dx=int e^(-2x)*(-e^x) dx=int -e^(-x) dx=-int e^(-x) dx=-e^(-x)$
$y=e^(2x)*[-e^(-x) +c] rarr y=c*e^(2x)-e^x$
Sostituendo le coordinate della condizione iniziale $y(0)=0$ nell'integrale generale, si determina il valore di c: $y=c*e^(2x)-e^x rarr 0=c-1 rarr c=1$
L'integrale particolare è quindi: $y=e^(2x)-e^x rarr y=e^x(e^x-1)$
Infatti, non capisco cosa ha scritto lui..
Direi che avevo sbagliato la formula... mi mancavano dei pezzi e avevo sbagliato un segno.
Sono andato a guardare sul libro e infatti era diversa rispetto ai miei appunti
Grazie per l'aiuto!
Sono andato a guardare sul libro e infatti era diversa rispetto ai miei appunti

Grazie per l'aiuto!