Verifica procedimento calcolo limite 2 variabili
Salve a tutti,
scusate se scrivo molto questi giorni ma ho davvero bisogno di voi!
Sto facendo esercizi sui limiti di funzioni a due variabili, e mi sono imbattuta in questo:
$lim_((x,y)->(0,0))(1-cos(xy))/(x^2+y^2)$ .
Dato che parametrizzando con $x=t,y=mt$ non veniva niente di che, ho pensato (visto che questo limite serviva a verificare la continuità della funzione, che vale 0 in $f(0,0)$) di maggiorarla con un'altra che tende a 0 per $(x,y)->(0,0)$ . Credo di esserci riuscita, poiché però non sono molto pratica di questo metodo non sono sicura della correttezza né della rigorosità di quello che ho fatto, quindi volevo chiedervi di controllarlo, correggermi se ho sbagliato, e se non ho sbagliato vorrei sapere se c'era un metodo più pratico o una maggiorazione migliore per ottenere lo stesso risultato.
Ecco qua i miei passaggi:
$0<=(1-cos(xy))/(x^2+y^2)<=(2cos(xy))/(x^2+y^2)<=(2x^2y)/(x^2+y^2)->0$ per $(x,y)->(0,0)$ .
Grazie in anticipo!
Valentina
scusate se scrivo molto questi giorni ma ho davvero bisogno di voi!
Sto facendo esercizi sui limiti di funzioni a due variabili, e mi sono imbattuta in questo:
$lim_((x,y)->(0,0))(1-cos(xy))/(x^2+y^2)$ .
Dato che parametrizzando con $x=t,y=mt$ non veniva niente di che, ho pensato (visto che questo limite serviva a verificare la continuità della funzione, che vale 0 in $f(0,0)$) di maggiorarla con un'altra che tende a 0 per $(x,y)->(0,0)$ . Credo di esserci riuscita, poiché però non sono molto pratica di questo metodo non sono sicura della correttezza né della rigorosità di quello che ho fatto, quindi volevo chiedervi di controllarlo, correggermi se ho sbagliato, e se non ho sbagliato vorrei sapere se c'era un metodo più pratico o una maggiorazione migliore per ottenere lo stesso risultato.
Ecco qua i miei passaggi:
$0<=(1-cos(xy))/(x^2+y^2)<=(2cos(xy))/(x^2+y^2)<=(2x^2y)/(x^2+y^2)->0$ per $(x,y)->(0,0)$ .
Grazie in anticipo!
Valentina
Risposte
...si, anche. Non avevo pensato a ricondurmi al limite notevole! Ma credi che il mio metodo comunque fosse corretto?
Hai ragione, quella disuguaglianza non è affatto vera! Ma perché dici che la funzione con cui stiamo maggiorando è infinita? Ti riferisci a $2*sen^2(t/2)$ ? Come fa a essere infinita se è $<=2$ ?
Si, adesso ho capito tutto. Chiarissimo. Ti ringrazio molto!
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