Verifica precompattezza (analisi funzionale)
Ciao! ho un esercizio sottomano, e non riesco a venirne a capo:
Siano $A={u in C^1[0,1] text{ t.c. } 1/10<=u'(x)<=10$ $AA x in [0,1]}$,
$B={u in C[0,1] text{ t.c. } \int_{0}^{1} u(x) dx = 0}$
Mostrare che $A$ $non$ è $text{precompatto}$ in $C[0,1]$ (munito della norma del massimo).
Mostrare invece che $AnnB$ è $text{precompatto}$ in $C[0,1]$.
Io ho pensato che si usi il teorema di $text{Ascoli-Arzela}$. Quindi $A$ è $text{precompatto} hArr A text{ equicontinuo e limitato}$.
Per verificare l'equicontinuità si può vedere se il $text{sup}||u'(x)||<=M$. Quindi $A$ è equicontinuo (ed u è lipschitziana).
Però come faccio a vedere che non è limitato?
$AnnB$ è equicontinuo. Qui bisogna vedere però che è limitato.
C'è qualcosa che mi sfugge! Qualcuno può darmi una mano?
Grazie infinite!
Siano $A={u in C^1[0,1] text{ t.c. } 1/10<=u'(x)<=10$ $AA x in [0,1]}$,
$B={u in C[0,1] text{ t.c. } \int_{0}^{1} u(x) dx = 0}$
Mostrare che $A$ $non$ è $text{precompatto}$ in $C[0,1]$ (munito della norma del massimo).
Mostrare invece che $AnnB$ è $text{precompatto}$ in $C[0,1]$.
Io ho pensato che si usi il teorema di $text{Ascoli-Arzela}$. Quindi $A$ è $text{precompatto} hArr A text{ equicontinuo e limitato}$.
Per verificare l'equicontinuità si può vedere se il $text{sup}||u'(x)||<=M$. Quindi $A$ è equicontinuo (ed u è lipschitziana).
Però come faccio a vedere che non è limitato?
$AnnB$ è equicontinuo. Qui bisogna vedere però che è limitato.
C'è qualcosa che mi sfugge! Qualcuno può darmi una mano?
Grazie infinite!
Risposte
Hint: se prendi una funzione $u$ contenuta in $A$ e vi sommi una costante, ottieni ancora una funzione di $A$.
Vero -.-" Quindi rimane limitata in $C^1$ ma non $C$!
Mentre $\int_{0}^{1} u(x) dx = 0$ serve proprio perchè la $u$ rimanga limitata in $C$, giusto?
Grazie!
Mentre $\int_{0}^{1} u(x) dx = 0$ serve proprio perchè la $u$ rimanga limitata in $C$, giusto?
Grazie!
Come "rimane limitata in $C^1$"? Esprimiti bene, perché questa cosa non ha senso. Scrivi proprio per bene perché $A$ non è un insieme puntualmente limitato, come richiede il teorema di Ascoli-Arzelà. Poi scrivi, anche qui per bene, perché $Ann B$ è invece un insieme equicontinuo e puntualmente limitato.
Io purtroppo non sono molto ferrato nello scrivere rigorosamente.
Insieme puntualmente limitato penso si riferisca al fatto che ogni successione $u_k(x) -> u(x)$ $AA x$ fissato.
Cioè il limite per $n->\infty$ di $u_k(x)$ è $u(x)$
Io $text{Ascoli-Arzela}$ l'ho visto (a lezione) come $A$ $text{precompatto}$ $hArr$ $A$ $text{limitato ed equicontinuo}$,
riferendosi alla limitatezza in norma.
Quindi riflettevo, con il tuo suggerimento, alla limitatezza di $u$ in norma.
Mi sono accorto, però, che facevo delle supposizioni sbagliate.
Ed ora mi sono perso di nuovo.
Insieme puntualmente limitato penso si riferisca al fatto che ogni successione $u_k(x) -> u(x)$ $AA x$ fissato.
Cioè il limite per $n->\infty$ di $u_k(x)$ è $u(x)$
Io $text{Ascoli-Arzela}$ l'ho visto (a lezione) come $A$ $text{precompatto}$ $hArr$ $A$ $text{limitato ed equicontinuo}$,
riferendosi alla limitatezza in norma.
Quindi riflettevo, con il tuo suggerimento, alla limitatezza di $u$ in norma.
Mi sono accorto, però, che facevo delle supposizioni sbagliate.
Ed ora mi sono perso di nuovo.
No, dai, che confusione. Rivediti bene le definizioni. Un insieme $H$ di funzioni di $X$ in $RR$ è puntualmente limitato se per ogni $x \in X$ l'insieme ${f(x) | f \in H}subset RR$ è limitato. Un insieme limitato rispetto alla norma uniforme è chiaramente puntualmente limitato e in generale non vale il viceversa. Per attivare il teorema di Ascoli-Arzelà è sufficiente la limitatezza puntuale (oltre a tutte le altre ipotesi del teorema: $X$ è uno spazio metrico compatto e $H$ è equicontinuo).
P.S.: Ah scusa, sono un po' stanco e non ho letto con attenzione. Si, in effetti il teorema si può formulare in modo equivalente con la nozione di limitatezza in norma. Ok, allora adesso bisogna verificare che $A$ non è limitato in norma... Ma il suggerimento è sempre lo stesso. Prendi un elemento $f$ di $A$. Ora osserva che, per ogni $lambda \in RR$, $f+lambda$ è ancora in $A$. Usa questo fatto per mostrare che $A$ contiene funzioni di norma arbitrariamente grande.
P.S.: Ah scusa, sono un po' stanco e non ho letto con attenzione. Si, in effetti il teorema si può formulare in modo equivalente con la nozione di limitatezza in norma. Ok, allora adesso bisogna verificare che $A$ non è limitato in norma... Ma il suggerimento è sempre lo stesso. Prendi un elemento $f$ di $A$. Ora osserva che, per ogni $lambda \in RR$, $f+lambda$ è ancora in $A$. Usa questo fatto per mostrare che $A$ contiene funzioni di norma arbitrariamente grande.
Ho fatto un po' di confusione prima.
Comunque io stavo riflettendo proprio su quello.
Al fatto che prendo $u in A$, prendo $\lambda in RR$, $u + \lambda$ è ancora in $A$.
Ora pero' non trovo una $M$ per cui $||u+\lambda||_(C[0,1])<=M$ sempre, per il fatto che $\lambda$ è arbitrario, e lo prendo grande a piacere.
Comunque io stavo riflettendo proprio su quello.
Al fatto che prendo $u in A$, prendo $\lambda in RR$, $u + \lambda$ è ancora in $A$.
Ora pero' non trovo una $M$ per cui $||u+\lambda||_(C[0,1])<=M$ sempre, per il fatto che $\lambda$ è arbitrario, e lo prendo grande a piacere.
Certo. Però ancora non è scritto in modo "formalmente ineccepibile". Io pensavo a una cosa del genere:
sia $u: [0, 1] \to RR$ la funzione definita da $u(x)=5x$. Evidentemente $u \in A$; inoltre $||u||_{\infty}=5$. Per ogni $\lambda \in RR$, la funzione $u + lambda$ è ancora in $A$ e inoltre, per $lambda >0$, $||u+lambda||_{infty}=5+lambda$. Siccome è possibile scegliere $lambda>0$ arbitrariamente grandi, anche $A$ contiene elementi di norma arbitrariamente grande e quindi non è un insieme limitato. Ne viene che $A$ non può neanche essere precompatto.
Chiaro, non è che ogni volta devi scrivere tutto questo papiro, però almeno le prime volte conviene farlo. Dopo un paio di esercizi, quando sei più pratico, puoi omettere tutti i dettagli a cuor leggero. Nello specifico, la tua risoluzione presenta due punti oscuri:
1) $A$ potrebbe essere vuoto, nel qual caso non troveresti $u \in A$;
2) non è chiaro perché la norma di $u+lambda$ dovrebbe essere grande.
Sono ovvietà, si intende, e come direbbe Celentano "lo so che tu lo sai".
sia $u: [0, 1] \to RR$ la funzione definita da $u(x)=5x$. Evidentemente $u \in A$; inoltre $||u||_{\infty}=5$. Per ogni $\lambda \in RR$, la funzione $u + lambda$ è ancora in $A$ e inoltre, per $lambda >0$, $||u+lambda||_{infty}=5+lambda$. Siccome è possibile scegliere $lambda>0$ arbitrariamente grandi, anche $A$ contiene elementi di norma arbitrariamente grande e quindi non è un insieme limitato. Ne viene che $A$ non può neanche essere precompatto.
Chiaro, non è che ogni volta devi scrivere tutto questo papiro, però almeno le prime volte conviene farlo. Dopo un paio di esercizi, quando sei più pratico, puoi omettere tutti i dettagli a cuor leggero. Nello specifico, la tua risoluzione presenta due punti oscuri:
1) $A$ potrebbe essere vuoto, nel qual caso non troveresti $u \in A$;
2) non è chiaro perché la norma di $u+lambda$ dovrebbe essere grande.
Sono ovvietà, si intende, e come direbbe Celentano "lo so che tu lo sai".
Hai ragione, sei stato impeccabile!
Per quanto riguarda $AnnB$: $u$ non basta che stia in $A$, ma c'è bisogno che $\int_{0}^{1}u(x)dx=0$
Ho provato a scrivere qualcosa, sperando che non siano eresie!
Dell' equicontinuità già sappiamo.
Abbiamo $u:[0,1]->RR$, $\lambda in RR$, chiamo $u+\lambda=f$,
$f in AnnB$ $hArr$ $1/10<=f'<=10$ e $\int_{0}^{1}f(x)dx=0$.
$\int_{0}^{1}f(x)dx=\int_{0}^{1}u+\lambdadx=\lambda+\int_{0}^{1}udx$ quest'ultimo lo vedo come
$\int_{0}^{1}u*1dx$ e lo calcolo per parti: $\int_{0}^{1}u*1dx=\int_{0}^{1}u'*0dx$ $-$ $\int_{0}^{1}u'*xdx$
quindi $\int_{0}^{1}f(x)dx=\lambda - \int_{0}^{1}u'*xdx=0$
quindi vedo che $\lambda$ dipende da $u'$ (che è limitato):
$\lambda+ \int_{0}^{1}u'*xdx=0$
chiamo $u'=C$ in quanto $AA x 1/10<=u'<=10$ $rArr$ $\lambda=C*[((x^2)/2)]_{0}^{1}=C/2$
quindi $\int_{0}^{1}u+\lambdadx=\lambda+\int_{0}^{1}udx=\lambda-\int_{0}^{1}u'*xdx$
$rArr$ $f=\lambda-u'*x$ $rArr$ $||f||=text{max}f=text{max}(\lambda-u'*x)=text{max}(C/2-C*x)$, $x in [0,1]$
$rArr$ $AnnB$ è limitato ed equicontinuo $rArr$ è precompatto.
Per quanto riguarda $AnnB$: $u$ non basta che stia in $A$, ma c'è bisogno che $\int_{0}^{1}u(x)dx=0$
Ho provato a scrivere qualcosa, sperando che non siano eresie!
Dell' equicontinuità già sappiamo.
Abbiamo $u:[0,1]->RR$, $\lambda in RR$, chiamo $u+\lambda=f$,
$f in AnnB$ $hArr$ $1/10<=f'<=10$ e $\int_{0}^{1}f(x)dx=0$.
$\int_{0}^{1}f(x)dx=\int_{0}^{1}u+\lambdadx=\lambda+\int_{0}^{1}udx$ quest'ultimo lo vedo come
$\int_{0}^{1}u*1dx$ e lo calcolo per parti: $\int_{0}^{1}u*1dx=\int_{0}^{1}u'*0dx$ $-$ $\int_{0}^{1}u'*xdx$
quindi $\int_{0}^{1}f(x)dx=\lambda - \int_{0}^{1}u'*xdx=0$
quindi vedo che $\lambda$ dipende da $u'$ (che è limitato):
$\lambda+ \int_{0}^{1}u'*xdx=0$
chiamo $u'=C$ in quanto $AA x 1/10<=u'<=10$ $rArr$ $\lambda=C*[((x^2)/2)]_{0}^{1}=C/2$
quindi $\int_{0}^{1}u+\lambdadx=\lambda+\int_{0}^{1}udx=\lambda-\int_{0}^{1}u'*xdx$
$rArr$ $f=\lambda-u'*x$ $rArr$ $||f||=text{max}f=text{max}(\lambda-u'*x)=text{max}(C/2-C*x)$, $x in [0,1]$
$rArr$ $AnnB$ è limitato ed equicontinuo $rArr$ è precompatto.
No, aspetta, c'è subito una cosa che non va. Dobbiamo mostrare che $A nn B$ è limitato in norma e su questo siamo d'accordo. Ma cosa c'entra adesso prendere $u+lambda$? Quella era una costruzione atta a fare vedere che $A$ non è limitato, ormai non serve più: infatti è immediato mostrare che se $u \in B$ e anche $u+lambda \in B$ allora $lambda=0$.
No, invece devi prendere una funzione $u \in Ann B$ e trovare una stima per $|u(x)|$ che non dipenda da $u$.
No, invece devi prendere una funzione $u \in Ann B$ e trovare una stima per $|u(x)|$ che non dipenda da $u$.
Ok.
Ma è lecito usare l'integrazione per parti come ho provato a fare prima?
cioè:
$\int_{0}^{1}udx=u*x$ $-$ $\int_{0}^{1}u'*xdx=0$ $rArr$ $u*x=\int_{0}^{1}u'*xdx$
e quindi prendere le norme da qui
Ma è lecito usare l'integrazione per parti come ho provato a fare prima?
cioè:
$\int_{0}^{1}udx=u*x$ $-$ $\int_{0}^{1}u'*xdx=0$ $rArr$ $u*x=\int_{0}^{1}u'*xdx$
e quindi prendere le norme da qui
Intanto il termine "lecito" io lo bandirei dalla matematica, comunque si l'idea può funzionare (ma fai bene i conti: che cosa hai scritto lì?). Tieni conto che gli strumenti a tua disposizione, in ultima analisi, sono sempre quelli: il teorema di Lagrange del valore medio, per mettere in relazione i valori assunti da una funzione e la relativa derivata prima, e la formula fondamentale del calcolo integrale, con tutti gli annessi e connessi - in questo caso, l'integrazione per parti.
Io pensavo a questo:
$\int_{0}^{1}udx=u*x$ $-$ $\int_{0}^{1}u'*xdx=0$ $rArr$ $u*x=\int_{0}^{1}u'*xdx$
$rArr$ $|u*x|=|\int_{0}^{1}u'*xdx|<=\int_{0}^{1}|u'*x|dx<=\int_{0}^{1}|u'|*|x|dx$
prendo il max di x che è 1 $rArr$ $<=\int_{0}^{1}|u'|dx<=||u'||*(1-0)=||u'||$
quindi $||u*x||<=||u'||$
ecco pero qui non so se si puo dire che allora $||u||<=||u'||$
$\int_{0}^{1}udx=u*x$ $-$ $\int_{0}^{1}u'*xdx=0$ $rArr$ $u*x=\int_{0}^{1}u'*xdx$
$rArr$ $|u*x|=|\int_{0}^{1}u'*xdx|<=\int_{0}^{1}|u'*x|dx<=\int_{0}^{1}|u'|*|x|dx$
prendo il max di x che è 1 $rArr$ $<=\int_{0}^{1}|u'|dx<=||u'||*(1-0)=||u'||$
quindi $||u*x||<=||u'||$
ecco pero qui non so se si puo dire che allora $||u||<=||u'||$
Ma dai, che dici? Guarda qua:
$int_0^1 u "d"x=u*x-int_0^1 u'xdx$
Ti pare possibile che a sinistra dell'uguale ci sia un numero e a destra una funzione della $x$?
$int_0^1 u "d"x=u*x-int_0^1 u'xdx$
Ti pare possibile che a sinistra dell'uguale ci sia un numero e a destra una funzione della $x$?
vero, $u*x$ va calcolato tra 0 e 1
E lo so che è vero.
Dai, ti do uno spunto. Parti da questa relazione:
$|u(x)-u(0)|\le int_0^x |u'(t)|\ "d"t$.
Dai, ti do uno spunto. Parti da questa relazione:
$|u(x)-u(0)|\le int_0^x |u'(t)|\ "d"t$.
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